物理の問題.70

質問

図の回路のC1,C2,C3はコンデンサーで、C1の電気容量はC1(F),C2とC3の電気容量はともにC2(F)である。
R1,R2は抵抗値R(Ω)の電気抵抗を表し、Eは起電力E(V)の電池で内部抵抗は無視できる。最初、スイッチS1,S2はともに開かれており、すべてのコンデンサーは帯電していないものとする。
(1)S1を閉じる。その瞬間にR1を流れる電流はE/R(A)である。そのあと、電荷の移動が終わったとき、C1にたくわえられている電気量はC1,C2の電圧と電気量をそれぞれV1,V2,Q1,Q2とすると、Q1=Q2=(C1)(C2)E/(C1+C2)で、C1の極板間の電圧はV1=(C2)E/(C1+C2)である。

(2)次にS1を開きS2を閉じた。電荷の移動が終わった後、C2およびC3にたくわえられている電気量はいずれもQ'=(C1)(C2)E/2(C1+C2)(C)で、C2とC3の両極板間の電圧はどちらもV'=(C1)E/2(C1+C2)(V)である。

(3)S2を開き、ふたたびS1を閉じた。その直後にR1を流れる電流をI1とするとI1=(C1)E/2R(C1+C2) (A)である。また電荷の移動が終わった後、C1には(C1)(C2)(3C1+2C2)E/2(C1+C2)^2 (C)の、C2には(C1)(C2)(2C1+C2)E/2(C1+C2)^2 (C)の電気量がたくわえられている。

(4)さらに(2)の操作をおこなった。電荷の移動が終わったとき、この操作によってC2からC3に移動した電気量はE(C2)(C1)^2/4(C1+C2)^2　である。このときC1,C2,C3のS2でつながった極板にあらわれる電気量の総和は0(C)である。

(5)その後、(3),(2)の操作を無限回繰り返した。最終の定常状態では、C2とC3の両極板間の電圧はどちらも( 1 ) (V)となる。
またこの前操作において、R1とR２で発生した総ジュール熱の和は( 2 )(J)である。

この問題の1と2に入る式についてですが、解答では1については最終の定常状態では、スイッチを開閉しても電荷の移動はない。求める電圧をVとすると、S1を閉じても電荷が移動しないためには、キルヒホッフの第2法則よりC1の電圧がE-Vであればよい。C1,C2,C3に関する電荷の保存より-C1(E-V)+(C2)V+(C2)V=0
よってV=(C1)E/(C1+2C2)

2については、電池を起電力の向きに通過した電気量はC1(E-V)である。したがって、求めるジュール熱をWとすると、エネルギー保存則よりE・C1(E-V)=C1(E-V)^2/2+｛(C2)V^2/2｝×2+W ∴W=…と答えを導いています。

まず1について疑問に思うのが、確かにキルヒホッフの第2法則でC2の電圧をVとしたときC1の電圧はE-Vとなります。
しかし、なぜ電圧がE-Vであれば電荷が移動しないのですか？
また、なぜC1,C2,C3に関する電荷の保存の式に値を代入しなければならないのでしょうか。
ほかの式に代入するのではだめなのでしょうか。
これとは別の求め方(数学的解法以外で)も存在するのですか？
S1を閉じても電荷が移動しないとはどういうことなのでしょうか？電荷が移動するときはどういう時でしないときはどういう時なのでしょうか。

2について疑問に思うのが、どのようにして電池を起電力の向きに通過した電気量がC1(E-V)であるということがわかったのでしょうか。
また、なぜE・C1(E-V)=C1(E-V)^2/2+｛(C2)V^2/2｝×2+W式が成立するのでしょうか。
(初めの静電エネルギー)+(電池のした仕事)=(後の静電エネルギー)+(ジュール熱)だからでしょうか？

これら2つのことがわからず困っています。もしわかる方がいらっしゃいましたら教えていただけると助かります。
よろしくお願い致します。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

>しかし、なぜ電圧がE-Vであれば電荷が移動しないのですか？

電荷が移動する＝電流が流れている場合は抵抗での電圧降下がありますから，E-Vにはなりませんよね？

>また、なぜC1,C2,C3に関する電荷の保存の式に値を代入しなければならないのでしょうか。
ほかの式に代入するのではだめなのでしょうか。
これとは別の求め方(数学的解法以外で)も存在するのですか？

(1)電荷の保存　と　(2)電圧の関係　を連立させるのがコンデンサーのつなぎ換え問題の定石と心得てください。
(1)電流の保存　と　(2)電圧の関係　すなわちキルヒホッフの法則を連立させるのが電流回路の定石であるのとよく似ています。

>S1を閉じても電荷が移動しないとはどういうことなのでしょうか？電荷が移動するときはどういう時でしないときはどういう時なのでしょうか。

R1の両端の電位差がゼロであれば，すなわち電圧降下がゼロ＝電流がゼロということです。電位差のないところに電場は生じないので，電流は流れません。

>2について疑問に思うのが、どのようにして電池を起電力の向きに通過した電気量がC1(E-V)であるということがわかったのでしょうか。

C1も最初は電荷ゼロでした。R1を通過した電気量は，最終的にC1に蓄えられた電気量に等しいはずです。

>また、なぜE・C1(E-V)=C1(E-V)^2/2+｛(C2)V^2/2｝×2+W式が成立するのでしょうか。
(初めの静電エネルギー)+(電池のした仕事)=(後の静電エネルギー)+(ジュール熱)だからでしょうか？

そのとおりです。
（初めの静電エネルギー）＝０
（電池のした仕事）＝Q1・E
（後の静電エネルギー）＝C1(E-V)^2/2+｛(C2)V^2/2｝×2
（ジュール熱）＝W

お礼

丁寧な説明をしていただきありがとうございました。

非常によくわかりました。