導関数の定義の問題

質問

y=tanxを定義にもとづいて求めよ。
導関数の定義はf'(x)=f(x+h)-f(x)/h

で　f'(tanx)=tan(x+h)-tanx/h　とやって、この後は加法定理を使って求められますか？
加法定理を使ったら答えが0になってしまいました。
1/cos＾2 xになりません。

どなたか教えてくださいませんか。

回答No.2

ichiro-hot · ベストアンサー

●lim h→0 tan(x+h)-tanx/h=lim h→0 tanx+tanh/1-tanxtanh -tanx/h　？？？

　tan(x+h)-tanx＝sin(x+h)/cos(x+h)-sin(x)/cos(x)
　＝｛sin(x+h)cos(x)-sin(x)cos(x+h)｝/｛cos(x+h)・cos(x)｝
　＝sin｛(x+h)-x｝/cos(x+h)・cos(x)
　＝sin(h)/cos(x+h)・cos(x)

∴lim h→0 tan(x+h)-tanx/h
　＝lim h→0sin(h)/cos(x+h)・cos(x)・ｈ
　＝lim h→0｛sin(h)/ｈ｝・｛1/cos(x+h)・cos(x)｝
　＝１・｛1/cos＾2(x)｝
　＝cosec＾2（ｘ）

　三角関数の微分のとき、『lim h→0｛sin(h)/ｈ｝＝１』が使えるように式変形をすることがポイントだ。

お礼

tanのままで加法定理をしていまいました。
sin,cosになおしてlim h→0｛sin(h)/ｈ｝＝１に変形していくのですね。
ありがとうございます。
勉強になりました。

回答No.3

Meowth

((tanx+tanh)/(1-tanxtanh) -tanx)/h
=(tanx+tanh -tanx(1-tanxtanh))/h/(1-tanxtanh)
(tanh/h +(tanx)^2tanh/h))/(1-tanxtanh)
→1 +(tanx)^2

お礼

そういった解き方もあったのですね。
勉強になります。

回答No.1

info22

>この後は加法定理を使って求められますか？
1/cos＾2(x) が求まるよ。

> 加法定理を使ったら答えが0になってしまいました。
単なる計算間違いでは？
あなたがやった計算が書いてないからどこで計算ミスしたか
分からない。

補足にやった計算過程を書いて下さい。

補足

lim h→0 tan(x+h)-tanx/h
=lim h→0 tanx+tanh/1-tanxtanh -tanx/h

式がわかりにくくてすいません。
ここでhに0を代入しました。
この後ここからどう解けばいいのでしょうか？