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ベクトルの問題
oodaikoの回答
問題では正三角形の1辺の長さはａとなっていますが点Ａの位置ベクトルａ→と 紛らわしいので回答ではｒと書きます。 （１）Ｐの従う式を変形すると ｐ→ ＝ｔ（ａ→＋２ｂ→－３ｃ→）/ ３ ＋ （ａ→＋ｂ→＋ｃ→）/ ３ ……(*) となります。 すなわちｐ→はベクトル （ａ→＋２ｂ→－３ｃ→）/ ３ に平行で 点 （ａ→＋ｂ→＋ｃ→）/ ３ を通る直線です。 （２）ＡＰ→ ＝ ｐ→ － ａ→ 、ＡＢ→ ＝ ｂ→ － ａ→ 、ＡＣ→ ＝ ｃ→ － ａ→ ですから上の式(*)の両辺から ａ→ を引いて 式を変形すると ＡＰ→ ＝ ｐ→ － ａ→ ＝｛（1＋２ｔ）/３}（ｂ→ － ａ→） ＋ ｛（1 － ３ｔ）｝/３（ｃ→ － ａ→） …… (**) ＝ ｛（1＋２ｔ）/３｝ ＡＢ→ ＋ ｛（1 － ３ｔ）｝/３ ＡＣ→ となります。 ＡＰ//ＢＣとなるのは，ある実数ｋに対して ＡＰ ＝ ｋ ＢＣ ＝ ｋ（ｂ→ － ｃ→ ） となる場合です。そこで(**)の式で ａ→が０になるようにｔを決めてやるとｔ＝２ のときうまくこの形になって ｋ＝ ５/３となります。 つまり線分ＡＰの長さは線分ＢＣの長さの ５/３倍ですから （５ｒ）/３ です 今線分ＡＰと線分ＢＣは平行ですからあとは ＡＰとＢＣの距離、すなわち 下底ＢＣ上底ＡＰとする台形の高さ がわかればよいですね。 これは正三角形の頂点Ａから底辺ＢＣに引いた垂線の長さですから （ｒ√３）/２ です。 よって台形ＢＣＰＡの面積は （２ｒ^2 √３）/３ となります。 （ｒ^2 はｒの２乗のことです） 細部の計算は御自分でチェックして下さい。
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