交点をもとめる

質問

3点A（2，5，6）、B(5，2，6)、C(c1,c2,c3)があります。この3点を通る平面を作り、その平面に垂直でかつ点Cを通る直線を求めたいのですが、力不足でもどうやっても求まりません。
どなたか教えてください。

回答No.6

Mr_Holland · ベストアンサー

＃３／＃４／＃５です。
　補足を拝見しました。

＞＞直線ＡＢと直線ＤＥが捻れの関係にあれば、あと１つ、例えば直線ＣＦが通る点などが分かればよいのですが
＞とあるのですが、仮に上記の条件がわかった場合にはどのように求めればよいのか教えていただけませんか？

　各点の座標を次のように表すことにします。
　　点Ａ(xA,yA,zA)　；既知　(2,5,6)
　　点Ｂ(xB,yB,zB)　：既知　(5,2,6)
　　点Ｃ(xC,yC,zC)　；未知
　　点Ｄ(xD,yD,zD)　；既知
　　点Ｅ(xE,yE,zE)　；既知
　　点Ｆ(xF,yF,zF)　；未知
　　点Ｇ(xG,yG,zG)　；既知（直線ＣＦが通る既知の点）

手順１）　平面ＡＢＣと平面ＤＥＦの法線ベクトル→ｎ(nx,ny,nz)を求める。
　→ｎは、→ＡＢ、→ＤＥと垂直ですので、ベクトルの内積から次の関係が得られます。
　　→ｎ・→ＡＢ＝nx(xB-xA)+ny(yB-yA)+nz(zB-zA)＝０
　　→ｎ・→ＤＥ＝nx(xE-xD)+ny(yE-yD)+nz(zE-zD)＝０

　この２つの式から、比　nx：ny：nz　が得られます。
（式はとても複雑になりますので省きます。必要でしたらご自分で求めてください。）
　これによって、得られた→ｎ(nx,ny,nz)が　平面ＡＢＣと平面ＤＥＦに共通の法線ベクトルになります。

手順２）　平面ＡＢＣと平面ＤＥＦの方程式を求める。
　手順１で法線ベクトルは求められています。
　平面ＡＢＣは点Ａを、平面ＤＥＦは点Ｄを通りますので、それぞれ平面の方程式は次のように表せます。

　　平面ＡＢＣ：　nx(x-xA)+ny(y-yA)+nz(z-zA)＝０
　　平面ＤＥＦ：　nx(x-xD)+ny(y-yD)+nz(z-zD)＝０

手順３）　手順１で求められた法線ベクトルは、２つの平面に垂直に交わる直線ＣＦの方向ベクトルになります。
　この直線ＣＦは、既知の点Ｇ(xG,yG,zG)を通りますので、直線ＣＦの方程式は次のようになります。

　　(x-xG)/nx＝(y-yG)/ny＝(z-zG)/nz

手順４）　平面ＡＢＣと直線ＣＦの交点Ｃの座標を求める。
　手順２で平面ＡＢＣの方程式が、手順３で直線ＣＦの方程式が求められています。
　これらを連立して得られた解(x,y,z)が点Ｃの座標になります。

手順５）　平面ＤＥＦと直線ＣＦの交点Ｆの座標を求める。
　手順４と同様に、平面ＤＥＦと直線ＣＦの方程式を連立して解(x,y,z)を求めてください。
　その解が、点Ｆの座標になります。

お礼

返信遅れて申し訳ありません。

丁寧なご回答ありがとうございました。
大変参考になりました。

回答No.5

Mr_Holland

＃３／＃４です。
　補足を拝見しました。

＞他の条件としては、平面ABCと同じ条件（3点の内2点の座標がわかっており、1点はわからない。そして点Cを通る直線がその平面に垂直でかつ分からない1点を通る）の平面が２つあるということだけです。
＞この条件を加えたとしても求まらないですよね？

　ということは、もう１つの平面を平面ＤＥＦとして、点Ｄと点Ｅは座標が分かっているが、点Ｆは未知。
　そして、点Ｃを通る直線は、点Ｆで平面ＤＥＦと垂直に交わる。
ということですよね。

　このとき、直線ＡＢと直線ＤＥが捻れの関係にあれば、２平面は確定させることができますが、直線ＣＦとの交点Ｃ、Ｆの座標を具体的に求めることまではできません。
　また、直線ＡＢと直線ＤＥが平行であれば、２平面も確定させることができません。（それぞれ直線ＡＢと直線ＤＥを軸として回転する２平面がイメージできます。）
　もし、直線ＡＢと直線ＤＥが交わっていれば、２平面は一致しますので、質問の趣旨から外れたものになるでしょう。

　直線ＡＢと直線ＤＥが捻れの関係にあれば、あと１つ、例えば直線ＣＦが通る点などが分かればよいのですが、そんな条件はありませんか？

　現時点までの条件であれば、よくて２平面の方程式までです。

補足

回答ありがとうございます。
＞直線ＡＢと直線ＤＥが捻れの関係にあれば、あと１つ、例えば直線ＣＦが通る点などが分かればよいのですが

とあるのですが、仮に上記の条件がわかった場合にはどのように
求めればよいのか教えていただけませんか？

回答No.4

Mr_Holland

＃３です。

＞回答いただき直線の方程式はわかりました。そこから点Cの座標も求めたいのですが、無理でしょうか？

　ご質問の条件だけでしたら、求めることはできません。
　他に何か条件はありませんか？

補足

他の条件としては、平面ABCと同じ条件（3点の内2点の座標がわかっており、1点はわからない。そして点Cを通る直線がその平面に垂直でかつ分からない1点を通る）の平面が２つあるということだけです。
この条件を加えたとしても求まらないですよね？

回答No.3

Mr_Holland

平面ＡＢＣの法線ベクトルは、点Ｃを通る求める直線と平行です。

　まずは、次の手順で平面ＡＢＣの法線ベクトルを求めてください。

１）　→ＡＢ、→ＡＣ　　（ただし、→はベクトル）
２）　平面ＡＢＣの法線ベクトルをベクトルｎ＝（ｘ、ｙ、ｚ）として、
　　→ｎ・→ＡＢ＝→ｎ・→ＡＣ＝０
となるｘ、ｙ、ｚの比を求める。
　　⇒　これが求める直線のベクトルになります。

　次に、求める直線は点Ｃ（c1,c2,c3）を通るので、あとは直線の方程式に、２）で求めた直線のベクトル成分と点Ｃの座標を入れればＯＫです。

補足

申し訳ありません。質問が不十分でした。
回答いただき直線の方程式はわかりました。そこから点Cの座標も求めたいのですが、無理でしょうか？

回答No.2

info22

ヒント)
手順１）3点を通る平面に垂直な方向ベクトル(p,q,r)を求める。
手順２）C点をとおり平面に垂直な直線(媒介変数表現)を求める
　→(x,y,z)=(c1,c2,c3)+t(p,q,r)

質問する場合は、自力解答作って補足に書いてください。その上で、
その解答で行き詰まっている箇所を質問して下さい。

回答No.1

Tacosan

うん? 純粋に ABC を通る平面を求めれば終わりだからただの計算ミスじゃないかなぁ. ちなみに計算はどのようになりました?