ラグランジュの未定乗数法を用いた極値の判定
- g(x, y, z) = 3x - 7y + 2z - 31 = 0 の条件のもとで、f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2の最小値を求める問題について、原点を中心とする球と平面が接するときの球の半径の２乗が求める最小値であることを幾何学的に解釈し、解を得ました。
- また、ラグランジュの未定乗数法を用いる場合、fが極値をとる点はラグランジュの未定乗数法によって得られる点の中にすべて含まれることがわかります。実際に式を解いて(x, y, z) = (3/2, -7/2, 1)を得たところ、f(3/2, -7/2, 1) = 62/4であることを確認しました。
- しかし、この回答の場合、どのようにしてこの値が最小値であると言い切ることができるのか疑問に思っています。図を描くことで理解することはできますが、具体的な解説が欲しいです。
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大学１年レベル以下の極値に関する質問です
g(x,y,z)=3x-7y+2z-31=0の条件のもとで、f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2の最小値を求めよ。 という問題を、私は高校数学のように、原点を中心としてもつ球と平面3x-7y+2z-31=0とが接するときの球の半径の２乗が求める最小値である、と幾何学的に解釈して解き、最小値62/4を得ました。 しかし、私はこれをラグランジュの未定乗数法を用いて解答を作ろうと思い書いてみました。 具体的には、 gをx,y,z,それぞれで偏微分した値はすべて０でない（定数な）ので、fが極値をとる点はラグランジュの未定乗数法によって得られる点の中にすべて含まれる。 2x-3λ=0 2y-7λ=0 2z-2λ=0 3x-7y+2z-31=0を解いて、(x,y,z)=(3/2,-7/2,1)を得る 今、f(3/2,-7/2,1)=62/4である というところまで書いて、確かに答えは一致したのですが、この回答の場合、どのようにしてこの値が最小値であると言い切れるのかがよくわかりません。もちろん図をかけばわかりますが・・・。 どのようにしてこの極値が最小値であると言うのでしょうか？ どなたか回答よろしくお願いしますm(_ _)m
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ラグランジュの未定乗数法なので、その点が極値であることは保証されています。 で、極値が1つなわけですから、 その点は最大か 最小のいずれかです。 (31/3,0,0)を考えれば、f=961/9>62/4(=31/2にしたほうがいい) となって、より大きい値をとることができるので、 最大ではないので、最小値だということになります。
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