積分と漸化式

質問

添付した問題の(1)のIn+1について、上手く解けません。
Ioはx=tanθと置くことで解けたのですが、同様にして解いていくのでしょうか。
x=tanθとおくと
In=(tanθ)^2nとなるので
In+1=∫{0→π/4}(tanθ)^2n×(tanθ)^2dθ　と変形して部分積分を使うのかと思ったのですが、tanθがある為うまく解けず、わからなくなってしまいました。

ヒントや考え方だけでも良いので教えてください。

回答No.2

e_o_m · ベストアンサー

(tanθ)^(2n)*(tanθ)^2=(tanθ)^(2n)*{1/(cosθ)^2-1}を使えば
I_(n+1)=∫(tanθ)^(2n)/(cosθ)^2 dθ-In
となりますね。
∫(tanθ)^(2n)/(cosθ)^2 dθ=∫(tanθ)^(2n)(dtanθ/dθ) dθ
なので部分積分して
∫(tanθ)^(2n)/(cosθ)^2 dθ=∫(tanθ)^(2n+1) dθ - 2n∫(tanθ)^(2n)/(cosθ)^2 dθ
から
∫(tanθ)^(2n)/(cosθ)^2 dθ=1/(2n+1) ∫(tanθ)^(2n+1) dθ
となります。
結局
I_(n+1)=∫(tanθ)^(2n)/(cosθ)^2 dθ-In
=1/(2n+1) ∫(tanθ)^(2n+1) dθ-In
までなりましたので、後は∫(tanθ)^(2n+1) dθが1となることを計算できれば、最終目標の式に到達できます。

とりあえずここから先はまたご自分で少し考えてみてください。

お礼

丁寧な回答をありがとうございます！わかりました。なんとか無事に、答えまでたどり着くことができました!!本当にありがとうございました。

回答No.1

owata-www

ヒントだけ

x^2n/(1 + x^2)＝{x^2n + x^(2n-2) - x^(2n-2)}/(1 + x^2)
　　　　　　　＝{x^2n + x^(2n-2)}/(1 + x^2) - x^(2n-2)/(1 + x^2)
　　　　　　　＝x^(2n-2) - …

お礼

素早い回答ありがとうございます！考えてみます！