• ベストアンサー

f=max(sinx,0)のフーリエ級数展開について

f=max(sinx,0)は     f(x)=  0 (-π≦x≦0)       sinx (0≦x≦π)  であり、 この関数のフーリエ級数展開をせよという問題ですが、n≧2として 係数ao=2/π,a1=0、an= {(-1)^(n+1) -1} / {π*(n^2 -1)} になり、b1=1/2,bn=0となったので、 f(x)=1/π + 1/2sinx +  Σ(n=2~∞)an*cosnx と答えを得ましたが、かなり自信がありません。どなたか知恵のある方、貸してくれるとありがたいです。 もちろんfは2π周期の周期関数で、区分的に滑らかである。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.2

「間違っています」は言い過ぎでした。 an= {(-1)^(n+1) -1} / {π*(n^2 -1)} では、まだ途中段階です。n=2k と 2k+1 の場合に分けて、進めてください。 f(x)=1/π + 1/2sinx +  Σ(n=1~∞)a(2n)*cos(2nx) の形になるはずです。

その他の回答 (1)

回答No.1

残念ながら、間違っています。f と cos(3x) とを作図してみれば、積分計算しなくても a3=0 になることが分かります。再トライしてください。

buxc1988
質問者

お礼

大分時間がたちましたが、もう解決しました。ありがとうございます。

buxc1988
質問者

補足

じつは何回かやっていますが、どうも同じ結果になります。できれば、答えとやり方を教えてほしいです。

関連するQ&A

  • フーリエ級数展開についてです。 急いでます。

    (1)下の図のような周期2の関数がある。これをf(t)=|t| (-1<t<1)とし、そのフーリエ級数展開を求めなさい。なお、フーリエ級数展開はフーリエ係数を求めそれらの係数を用いて与式を展開すること。          |        /\ |   /\ _\/__\|/__\/___      -1       1   (2) 上の結果を用いて、Σ 1/(2n-1)^2=(π^2)/8となることを導きなさい。          (n=1~∞) という問題を教えてください。

  • フーリエ級数展開

    こんにちは。フーリエ級数展開の問題について質問があります。 f(x)=x(-l<x<l) をフーリエ級数展開せよ という問題なんですが、奇関数だからan=0だからbnのみ求めますが、私がこの問題を解くとbn=2l/nπ{1-(-1)^n}となりました。 しかし教科書の答を見るとbn=(-1)^(n+1)*2l/nπでした。 これは教科書の答のミスでしょうか?私の計算のミスでしょうか? 教えてください。

  • フーリエ級数展開について

    フーリエ級数展開について フーリエ係数anやbnはどうして周期Tの半分で割る必要があるのですか? 理屈をわかりやすく教えてください。

  • フーリエ級数に関して

    フーリエ級数に関しての質問です。 f(x)= 0 (π/2≦x<π) = cosx (-π/2≦x<π/2)   = 0 (-π≦x<-π/2) についてフーリエ級数を求めました。 正しい答えは (1/π)+(cosx/2)-(2/π)Σ[n=1→∞]{(-1)^(n+1)/(2n-1)(2n+1)}cos2nx  なんですが、2つ目のこの(cosx/2)について疑問が生じています。 最初に自分は、f(x)は偶関数なので係数Bn=0として答えを求めたのですが(cosx/2)はでてきませんでした。 そこで改めてBnについて計算してみるとBn=0とはならず(cosx/2)も出てきて答えと一致することを確認しました。 そこで質問なんですがf(x)が偶関数の場合でもBn≠0の可能性があるということでしょうか? うまく説明できてないかもしれませんがよろしくお願いします。

  • フーリエ級数の問題

    f(x)は周期2πをもつとする。 f(x)のフーリエ級数を求める。 (1)f(x)=x(-(π/2)<x<(π/2)),π-x((π/2)<x<(3π/2)),  この条件でフーリエ級数を求めると、  グラフを描くと奇関数になるので、a0=0,an=0, bn=(4/nの2乗π)sin(π/2)n したがってフーリエ級数は、 f(x)=(4/π){sinx-(1/9)sin3x+(1/25)sin5x-・・・} でいいのでしょうか? (2)f(x)=xの2乗(-(π/2)<x<(π/2)),π/4((π/2)<x<(3π/2)),  グラフを描くと、偶関数になったので、bn=0, a0=(πの2乗)/6, an=(2/π){(π/nの2乗)cos(π/2)n-(2/nの3乗)sin(π/2)n} よって、  f(x)=((πの2乗)/6)+(2/π){-2cosx-(π/4)cos2x+(2/27)          cos3x+・・・} これでいいのでしょうか?  ご回答よろしくお願いします。

  • フーリエ級数のf(x)

    フーリエ級数を求める問題なのですが… 求め方はわかるのですが、f(x)をどう求めてよいかわかりません。 詳しく説明すると 次の関数のフーリエ級数を求めよ。 f(x)=(1)-π<x<0、(2)0<x<π -------ここまでが問題です。この下から考えたところです。 an、bnをフーリエ級数とし、 f(x)~a0/2+Σ(ancosnx+bnsinnx) を求めます。(n→n=1~∞まで) a0はf(x)を-πからπまでを積分したものなので a0=1/π∫f(x)dx (積分範囲は-πからπまで) となります。 つづけて、an、bnを求めます。 an=1/π∫f(x)cosnxdx (積分範囲は-πからπまで) bn=1/π∫f(x)sinnxdx (積分範囲は-πからπまで) そこで、答えを出すために必要なのが、f(x)なのですが、どうやって導き出せばいいのかわかりません(>_<) どうすればいいのか教えてほしいです…!

  • フーリエ級数展開。

    f(x)=0(-π≦x<π),x(0≦x<π) これをフーリエ級数展開するとどうなるのでしょうか? フーリエ級数展開した式が出ません・・・。 答えとしては f(x)=π/4-(2/π)cosx+sinx-sin2x/2-(2/π)cos3x/3~2+sin3x/3-・・・ と解答にはありますが、一般系(?)で表記したいと考えています。 どのようにフーリエ級数展開すればいいのでしょうか? お願いします。

  • フーリエ級数についてお尋ねします。

    フーリエ級数を学ぶとき、最初に周期関数に対するフーリエ級数を考えます。例えば[-π, π]というような区間の関数が[π, 2π], [2π,3π],,,というように繰り返すようなものですね。 そこで、級数の係数an, bnを積分( 区間[-π,π]) によって表示したりします。その後、フーリエ変換になってくると”周期関数を仮定する”などのような変換される関数に対する要請が無くなるようです。 質問ですが、どうしてフーリエ級数では周期関数という要請が必要なのでしょうか。フーリエ級数の積分区間は[-π, π]に限定なのだから、その区間だけ定義されていればいいはずで、その関数系が左右に繰り返される場合を考えるというのはなぜでしょうか。

  • 数学のフーリエ級数展開およびデルタ関数の問題です!

    数学のフーリエ級数展開、およびデルタ関数の問題です!助けて下さい(><;) (1) f(x)=e^x (0≦x≦π) をフーリエ・サイン級数に展開せよ。 (2) f(x) (-π<x<π) のフーリエ級数展開に対して、パーセバルの等式 (1/π)∫[-π,π]|f(x)|^2・dx=(a0^2/2)+Σ[n=1,∞](an^2+bn^2)が成り立つことを利用して Σ[n=1,∞](1-(-1)^n・e^π)^2・n^2/(n^2+1)^2の値を求めよ。 (3)デルタ関数δ(x)に対して∫[-π/2,π/2]δ(sinx)cosxdxの値を求めよ。 以上の3問です。本当に困っています(;_;) 途中計算などは出来る限り詳しく書いてもらえると助かります。 これでは読みにくいと思われるので問題の写真を貼っておきます。 http://book.geocities.jp/yukarin6127/f_kyusu.htm よろしくお願い致しますm(_)m

  • フーリエ級数展開について。

    フーリエ級数展開のところで分からないところがあります。 通常、偶関数や奇関数を用いて解くと思うのですが、先生が直接解いてan,bnを求めなさいといわれました。 結局どうやるのかいまいちわかりません。 どうやってやればいいでしょうか? (1) f(x)=1 (0≦x<π) ,f(x)=0 (π≦x<2π) (2) f(x)=|x| (-π≦x<π) (3) f(x)=x (-π≦x<π) お願いします。