２直線のベクトルの最短距離 （空間）

質問

今、ベクトルl=t(1,2,3)+(-2,1,2)
ベクトルm=s(3,-1,2)+(1,2,-3)
s,tは実数。lとmの最短距離を求めよ。

ここで解法では　直線mを含む平面Ａを求め、
その後、平面Ａと(-2,1,2)との距離を求め、これを最短距離としているのですが、なぜ、最短距離になるのでしょうか？
ｌ上の任意の点とｍ上の任意の点の距離を調べるのが自然だと思うのですが。また、m上の平面の式を求めるのは違和感もあります。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

#1です。
A#1の補足の解答で全く問題ありません。
解答を前提にして
質問に戻っると
>平面Ａと(-2,1,2)との距離を求め、これを最短距離としているのですが、なぜ、最短距離になるのでしょうか？

平面A（lを含む）と平面B(mを含む)が平行と言うことは、平面Aと平面B上のどこで共通垂線を下ろしても同じ長さになることを意味します。
その同じ長さの平面間の垂線の長さ（平面間の距離）が、同時にl,mの共通垂線の長さ（l,m間の距離）にもなっていると言うことです。
l,m間の距離と言うのは最小距離を意味します。
\nは平面A,平面B,直線l,直線mの法線ベクトルになっています。

>ｌ上の任意の点とｍ上の任意の点の距離を調べるのが自然だと思うのですが。また、m上の平面の式を求めるのは違和感もあります。
自然（普通の考え方）ですが計算の手間がかかります。
平面の平行を使うのは少し頭のいい人がする方法で計算量が節約できます。何事も経験の賜物で、この方法を知っておくと、同種の問題に対して解法を選ぶ選択肢が増えますね。

[ポイント]覚えておいた方がいいこと。
>今、ベクトルl=t(1,2,3)+(-2,1,2)
>ベクトルm=s(3,-1,2)+(1,2,-3)
lとmに平行な平面Cは
C=t(1,2,3)+s(3,-1,2)
なので
A=(-2,1,2)+t(1,2,3)+s(3,-1,2)→(s,tを消去すると）x+y-z+3=0
B=(1,2,-3)+t(1,2,3)+s(3,-1,2)→(s,tを消去すると）x+y-z-6=0
なので
lとm間の最小距離dは平行な平面AとB間の距離になる。
(-2,1,2)からB:x+y-z-6=0
公式からd=|-2+1-2-6|/√(1+1+1)=3√3
とスマートな解法となる。

お礼

確かにスマートな解法ですね。
平面の平行を利用し解くのは、私の頭でイメージしにくかったです。
言われてみればそうなんですが。
丁寧にポイントをまとめて頂きありがとうございました。