空間ベクトルに関する質問
- 空間ベクトルに関する質問です。4点A(3,6,0),B(1,4,0),C(0,5,4),D(3,4,5)を考えると、点Dから平面ABCに垂線DHを下ろすとします。
- 点Hは平面ABC上にあるから(→AH)＝s(→AB)+t(→AC)(s,tは実数)とおけます。質問者は、(→DH)の成分がどのように求められるのか知りたいと言っています。
- また、sとtの方程式の作り方も丁寧に教えてほしいとのことです。質問者は、自分の解法に間違いがあるのかどうかも確認したいようです。
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空間ベクトル
空間内に4点A(3,6,0),B(1,4,0),C(0,5,4),D(3,4,5)をとり、点Dから平面ABCに垂線DHを下ろす。点Hは平面ABC上にあるから(→AH)＝s(→AB)+t(→AC)(s,tは実数)とおける。このとき、s,tの値と、Hの座標を求めよ。 (→DH)⊥(→AB)と(→DH)⊥(→AC)からsとtの方程式を作って、連立で解くことはわかったのですが、その先が進まなくて困っています。 ベクトルの成分を求める計算から(→AB)と(→AC)の成分を求めたのですが、(→DH)の成分はどうやって求めればよいのでしょうか？ sとtの方程式の作り方から丁寧に教えていただけると嬉しいです。 ここまでで、どこか間違ってるところがありましたら指摘してください。お願いします。
- kurum
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- 数学・算数
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＞＞(↑AH)＝s(↑AB)+t(↑AC) ＞＞(↑DH)・(↑AB)＝０、(↑DH)・(↑AC)。 ＞＞(↑AB)と(↑AC)の成分を求めた。 ここまで理解しているのに？ 知っているとは思うけれども、 ３次元のvectorは、縦書きした方が良いです。 今は、横書きするけれども。 (↑AB)＝(1,4,0)－(3,6,0) (↑AC)＝(0,5,4)－(3,6,0) 内積。 (↑DH)・(↑AB)＝０ と (↑DH)・(↑AC)＝０ 書き換え。 (↑DH)＝(↑DA)＋(↑AH) 内積の書き換え。 { (↑DA)＋(↑AH) }・(↑AB)＝０ { (↑DA)＋(↑AH) }・(↑AC)＝０ 成分。 (↑DA)＝(3,6,0)－(3,4,5) (↑AH)＝s(↑AB)+t(↑AC)を使用して、 再び内積の書き換え。 { (↑DA)＋s(↑AB)+t(↑AC) }・(↑AB)＝０ { (↑DA)＋s(↑AB)+t(↑AC) }・(↑AC)＝０ 基本的には完了。 あとは成分表示したいけれども、 そろそろ画面から、はみ出しそう。書体を変えます。 {{(3,6,0)-(3,4,5)}+s{(1,4,0)-(3,6,0)}+t{(0,5,4)-(3,6,0)}}・{(1,4,0)-(3,6,0)}=0 {{(3,6,0)-(3,4,5)}+s{(1,4,0)-(3,6,0)}+t{(0,5,4)-(3,6,0)}}・{(0,5,4)-(3,6,0)}=0 仕上げは、内積の計算を施すと、s,tの連立になります。 試しに上の式のみ縦書きして見ます。括弧は省略して数字だけです。 やはりズレマス。 ３－３ １ ３ ０ ３ １ ３ ６－４ ＋Ｓ ４ － ６＋Ｔ ５－ ６ ● ４－ ６ ＝０ ０－５ ０ ０ ４ ０ ０ ０ ＞＞Hの座標。を忘れていました。 ↑ＯＨを求めるためには、 ↑ＯＨ＝↑ＯＡ＋↑ＡＨ ↑ＯＨ＝↑ＯＡ＋s(↑AB)+t(↑AC) と書き直せば、 ↑ＯＡ、s、(↑AB)、t、(↑AC) が全て既出なので、 計算を施せば出てきます。
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- weakestman
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普通に式を作ればいい。 ベＤＨ＝べＤＡ＋ベＡＨ＝（0,2,-5）＋s(-2,-2,0)＋t（-3,-1,-4） あとは、＞(→DH)⊥(→AB)と(→DH)⊥(→AC)を式にする。 式はわかるよね。内積が０というもの。 未知数はsとtの二個で、式が２つ出来るから、stは求められる。
点Dの位置ベクトルををべ０と定める。 平面ABCのあらゆる点Ｐは べＰ＝べＤＡ＋ｓべＡＢ＋ｔべＡＣであらわされる。 あとは平面ＡＢＣに垂直なベクトルｖを一つ決めて、 ＤＨ×ｖ＝０となるときの ｓ、ｔを決めれば出ます。 ×は外積
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