1,1/2,1/3,・・・・,1/nの累乗の総和の収束・発散について

質問

数列{An}
An=1+(1/2)^k+(1/3)^k+・・・・+(1/n)^k　
は,k=1のとき発散することが示されますが、
ではk=2,3,・・・・のときはどうなのでしょうか？
また収束する場合、どのようにして収束値を求めるのでしょうか？
お教えください。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

#2です。
追加補足です。
kはk>1の実数で収束しますのでζ(k)(k>1)の数値計算は次の計算サイトで瞬時にやってくれます。
http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi
xの初期値2,増分1,繰り返し回数10で計算すると
ζ(x)を
ζ(2),ζ(3),ζ(4), ... ,ζ(11)
まで瞬時に計算してくれます（有効桁数10桁です）。
増分だけ0.1にして計算すれば
x=2, 2,1, 2.2, 2.3, ... ,2.9までのζ(x)を瞬時に計算してくれます。

参考URL：

http://keisan.casio.jp/has10/SpecExec.cgi

お礼

丁寧な回答ありがとうございます。ゼータ関数というのは確かに聞いたことがありました。
自分は文系の高校生なので今はゼータ関数のことなどはさっぱり分かりませんが、大学に入ってからは数学の勉強もしようと思っています。実はこの質問は、
1/1・2・3+1/2・3・4+・・・・+1/(n-1)n(n+1)=1/4-1/2n(n+1)
であることを利用して、ζ(3)＜5/4　を示すというある入試問題からきたものでした。
それにしても200年も前に研究していた人がいたとはすごい・・・

回答No.2

info22

An(n→∞)は一般のオイラー級数(k>0)としても知られ、ゼータ関数ζ(k)（k:自然数)の級数展開の定義としても知られています。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0

一般のオイラー級数はの場合
k>1で収束,0<k≦1で発散することが証明されていることが次のURLに記載されています。
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/oira-.htm
なので、kは自然数のとき
ζ(1)は発散、k>2で収束すると言うことです。
収束すると言うことは収束値が解析的にもとまることとは違います。

k:偶数の場合の収束値は以下に載っています。
http://hp.vector.co.jp/authors/VA014765/pi/zeta.html

kが3以上の奇数の場合のζ(k)は解析的な収束値は求まっていない。しかし、数値計算では収束値の近似値は求めることが可能と言うことでしょう（たとえば円周率のような定数で数値計算は可能、しかし非循環無限小数のような無理数になる可能性大ですね。）。

収束値の求め方はの詳細はゼータ関数そのものの求め方になるので、ゼータ関数で検索すれば沢山情報が得られますので、ご自分で調べてみて下さい。

回答No.1

Tacosan

k>1 で収束, 0<k≦1 では発散です.
k が偶数のときは π^k の有理数倍となることが知られています (オイラー) が, 奇数のときにはあまり知られていません. せいぜい「k=3 のときは無理数」とか, そんなレベルです.
オイラーは sin x の 2つの展開形
sin x = x - x^3/3! + x^5/5! - ... = x(1-x^2/π^2)(1-x^2/(2π)^2)...
から両辺の係数を比較するという形で求めていますが, 今だとフーリエ展開から持っていく方が安全なような気がします.

お礼

回答ありがとうございます。
自分も実際にk=3のときは電卓で計算したのですが、明らかに無理数という感じでした。
オイラーは天才ですね。