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なぜe^x にiを代入してもいいのですか？
zk43の回答
- zk43
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実数関数としての指数関数e^xは、 e^x=1+x+x^2/2+x^3/3!+x^4/4!+…（-∞<x<∞） とテイラー展開されます。 これの類似で、複素関数としての指数関数e^zを、 e^z=1+z+z^2/2+z^3/3!+z^4/4!+…（zは複素数） として定義します。 右辺は複素数の四則演算なので、計算できます。 級数なので、収束することを証明しなくてはなりませんが、 任意の複素数に対して収束することが証明できます。 （複素数の数列の収束は、複素平面での点列の収束と考えれば、 イメージしやすいと思います。） このように定義された複素関数としての指数関数に対して、 e^(ix)=1+(ix)+(ix)^2/2+(ix)^3/3!+(ix)^4/4!+… として計算されます。 すると、右辺はcosとsinのテイラー展開が出てきて、 e^(ix)=cosx+i・sinx となります。 特に、x=πとすれば、有名な、 e^(iπ)=-1 となります。
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