- ベストアンサー
三角形の面積
3点(1,1,0)、(-1,0,2)、(2,3,-1)を頂点とする三角形の面積を求めなさい。計算の手順も示してください。 という問題なんですが、これはベクトルの内積を用いて解けばいいのでしょうか?解き方がまったくわからないのでできれば解説付きでお願いします。
- 数学・算数
- 回答数5
- ありがとう数8
- みんなの回答 (5)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
内積を使った解法を示しておきます。 高校生には標準的なものと思います。 3点の名前を A (1,1,0), B (-1,0,2), C (2,3,-1)とします。 ∠ABC = θ と置くと… 内積 ↑AB・↑AC = (-2,-1,2)・(1,2,-1) = -6 = |↑AB|・|↑AC|・cosθ = 3・√6・cosθ. より、cosθ = -(√6)/3. △ABC = (辺AB)・{点Cの辺ABからの高さ}÷2 = |↑AB|・{ |↑AC|・sinθ }÷2 = 3・√6・√(1 - 6/9)÷2 = (3√2)/2.
その他の回答 (4)
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
#3です。 A#3で 前後関係から > =√{s(s-a)(s-b)(s-c)},s=(a+b+c)/2 (ヘロンの公式) のa,b,cは辺の長さですのでここでは公式では絶対値になります。 S=√{s(s-|a|)(s-|b|)(s-|c|)},s=(|a|+|b|+|c|)/2 (ヘロンの公式) どの面積Sの式を使っても S=3/√2=(3√2)/2 となりますので、質問者さんも回答者の解答を鵜呑みせず、必ず自分でも 色々なやり方で計算していずれの方法も、正しい結果が出てくることを確認してください。それにより質問者さんの実力アップに役立つと思います。
お礼
ありがとうございます!!とても参考になりました!!!
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
>これはベクトルの内積を用いて解けばいいのでしょうか? 内積でなく外積です。 S=|a||b|(sinθ)/2=|(a×b)|/2 =√{s(s-a)(s-b)(s-c)},s=(a+b+c)/2 (ヘロンの公式) a=(1,1,0)-(-1,0,2)=(2,1,-2),|a|=3 b=(2,3,-1)-(-1,0,2)=(3,3,-3),|b|=3√3 c=(2,3,-1)-(1,1,0)=(1,2,-1),|c|=√6 cosθ=(9+27-6)/(2*9√3)=5/(3√3) sinθ=(√6)/9 これらを上の公式に代入すれば解けますね。
お礼
ありがとうございます!大変参考になりました!
- arrysthmia
- ベストアンサー率38% (442/1154)
(1) 三平方の定理を使って三辺を求め、ヘロンの公式を使う。 (2) 内積または余弦定理を使って内角を求め、底辺×高さ÷2に持ち込む。 (3) 外積の長さを求める。 etc.
お礼
ありがとうございます!大変参考になりました!
- owata-www
- ベストアンサー率33% (645/1954)
ベクトルを使っても出来ますし、原点と2点(x1 ,y1)(x2 ,y2)で囲まれる面積が 1/2*|x1y2-x2y1| (証明は幾通りかあるがベクトルがやはり簡単かもしれない) で出せることを用いても出来るでしょう
お礼
ありがとうございます!大変参考になりました!
関連するQ&A
- ベクトルの内積と面積
ベクトルの内積ってありますよね? ベクトルの内積はその二つのベクトルの終点同士を 直線で結んでできた三角形の面積となるんでしょうか? 授業で聞いたようなそうでなかったようなうろ覚えで・・・ 調べてみましたがθ=90°のときは内積が0で成り立ちませんでしたが、 θ=60°のときは成り立ちました。
- 締切済み
- 数学・算数
- グラム行列、三角形の面積
A(1,0,1),B(2,2,0),C(2,2,-1)を頂点とする三角形ABCの面積Sを求めよという問題ですが解説お願いします。 解答によればベクトルAB×ベクトルAC=(-2,1,0)よりS=|ベクトルAB×ベクトルAC|=√5/2 別解 グラム行列式|G|=6×9-7×7=5よりS=(1/2)√|G|=√5/2 となっていますがベクトルの掛け算を忘れたせいか全く分かりません。 よろしくおねがいします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学B ベクトルがどうしても分かりません
内積と空間図形の問題が面積のところまでしか分かりません!! どなたか解説をお願いします!! 問い) 四面体OABCにおいて、OA=3、OB=4、OC=5、∠AOB=∠AOC=∠BOC=60°である。 三角形OBCの面積は(あ)√(い)、である。 OAベクトル=aベクトル、OBベクトル=bベクトル、OCベクトル=cベクトルとおく。 頂点Aから三角形OBCを含む平面に垂線AHを引く。 AHベクトル⊥bベクトル、AHベクトル⊥cベクトルであるから、 OHベクトル=(え分のう)bベクトル+(か分のお)cベクトルと表される。 よって、AHベクトルの大きさ=√(き)であるから、四面体OABCの体積は(く)√(け)である。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学の面積の問題
数学の面積の問題です。解説もよろしくお願いします。 下の図で、三角形ABCの3つの頂点A、B、Cは円周上にあり、AB>AC、∠ABCは90°以上の角である。 頂点Aを含まない弧BC上に2点D、EをB、D、E、Cの順に並ぶようにとる。4点B、D、E、Cは互いに一致しない。 頂点Aと点D、頂点Aと点E、点Dと点Eをそれぞれ結び、辺BCと線分ADの交点を点F、辺BCと線分AEの交点をGとする。 点Fが線分ADの中点、点Gが線分AEの中点で、辺BCが円の直径、BC=4cm、三角形ABCの面積と三角形ADEの面積の比が2:3のとき、三角形AFGの面積は何cm2か。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分で面積を求める問題がわかりません
f(x)=-x^2…放物線A 第4象限においてA上に頂点をもつ g(x)=ax^2-2atx+(-1+a)t^2(a≠0)…放物線B ただしt(>0)はBの頂点のx座標。 a≠-1とする。このとき常に異なる2点 x1=t,x2=(-1+a/1+a)tで交わる。 a<-1のときx1<x2となる。 このとき2つの放物線で囲まれる図形の面積はいくつになるか? この問題で、求める面積をSとすると S=-1/6{(-1+a/1+a)t-t}^3 で計算しました。 答えがt^3/3(1+a)^3 となりました。しかし答えは1だそうです。 どこが違うのでしょうか?? わかる方解説をお願いします!
- 締切済み
- 数学・算数
- 数B平面ベクトルの問題
平面ベクトルの問題です!解説をお願いします。 OA=√3,OB=√2, AB=2の△OABの形をした紙を考える。辺OAを2:1に内分する点を Cとし、図のように線分BCを折 り目としてこの紙を折ったときの頂点Oのうつる先をD、線分CDと辺ABとの交点をEとする。このとき、次の各問いに答えよ。 (1)↑OAと↑OBの内積を求めよ 。 (2)↑ODを↑OAと↑OBで表せ。 (3)△EDBの面積を求めよ。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます!!とても参考になりました!!!