定義と除法

質問者様の考えていることは、定義だけでなく、
「無定義述語」「定義」「公理」「定理」これらすべての意味とそれぞれの繋がりがわかって初めてすっきり理解できるものだと思います。
実際、高校までの数学ではほとんど教えられないことなので何となくでしか理解できていないのは無理もありません。私も下のURLにある書籍を読んで初めてそれらの繋がりが理解できました。
本では高校生でも理解できる程度に優しく書いてありますが、それでもそれをすべて解説するとなると私には難しすぎます。ぜひ本を読んでみてください。

不完全性定理―数学的体系のあゆみ
http://www.amazon.co.jp/%E4%B8%8D%E5%AE%8C%E5%85%A8%E6%80%A7%E5%AE%9A%E7%90%86%E2%80%95%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E4%BD%93%E7%B3%BB%E3%81%AE%E3%81%82%E3%82%86%E3%81%BF-%E3%81%9F%E3%81%AE%E3%81%97%E3%81%84%E3%81%99%E3%81%86%E3%81%8C%E3%81%8F-%E9%87%8E%E5%B4%8E-%E6%98%AD%E5%BC%98/dp/4535605025/

投稿日時 - 2009-01-03 09:33:49

回答ではないのですが…

>>A.No.3様
> 「無条件に正しいと認めるもの」
は公理ではないでしょうか？
定義とはNo.2様のおっしゃるとおり、「用語の取り決め」の方が適切かと思われます。
たとえば
「２本の異なる平行線は交わらない」はEuclid幾何学における公理であって定義ではありませんよね？
平行線の意味を述べたとき、それが「平行」の定義になるのではないのでしょうか？

勉強不足ゆえ、平行の定義は知りませんが…

投稿日時 - 2009-01-03 01:01:45

確かに中学校くらいだと、定義の内容が不明確なまま授業が進んでいたような記憶がありますね。

しかし、厳密に進めようとすると fjdaljao さんの言う、「意地の悪い」話が延々と続いて、
脱落者が続出すること請け合いでしょう。

投稿日時 - 2009-01-03 00:42:14

う～ん....
「数学」という学問自体が「どれだけ意地の悪い人でも納得せざるをえないような論理の展開をする」ものではありますからねぇ.... そういう意味では「意地の悪い学問」かもしれません.
議論をしようとすると, 「無条件に正しいと認めるもの」を基礎にしなければなりません. それが「定義」です. だから, 「それは定義だから」というのは, 単純に言うと「それは正しいって最初に決めてたよね」と言っているのと同じです.

投稿日時 - 2009-01-03 00:03:18

>それは定義だからとか言うのはどういう意味ですか？

「用語の取り決め」に従えば当然だ、という風な意味ですね。

>除法が逆数の乗法になおせるのはなぜですか？
「除法」という用語は乗法の逆演算として定義されます。

(定義１)
除法 Ａ÷Ｂ が Ｃ であるとは、Ｂを乗じてＡになる（Ｃ×Ｂ＝Ａ）数Ｃのことを言う


(定義２)
Ｂの逆数とは、定義１で特にＡが 1 であった場合のＣのことを言い、１／Ｂと書く


(命題)
Ａ÷Ｂ ＝Ａ×(１／Ｂ）である



はい、命題の証明を補足にどうぞ。

投稿日時 - 2009-01-02 22:06:49