計算する必要・不必要

質問

問
赤、青、黄、桃、緑の各色の玉がそれぞれ１個ずつ箱の中に入っている。この箱の中から無造作に１個の玉を取り出し、色を調べてからもとに戻す操作を５回繰り返す。３回以上同じ色の玉を取り出す確率はいくらか。

テキストの解説
例えば赤の玉を５回のうち３回取り出す確率は、
５Ｃ３×（１／５）3×（４／５）2＝３２／６２５
５色分計算する必要があるので、３２／６２５×５＝３２／１２５

となっていました。で、ここで感じた不明点なんですが。

※１…問題は「３回以上同じ色の玉を取り出す確率」について質問しているのであって、「おのおのの色のケースについて求めろ」と言っているのではない、ということです。つまり、考え方によっては、「同じ色でありさえすればいいから…」と問いていると捉えることもできます（よって×５は必要ない）。これは、もう、算数の暗黙の了解として、こういうものと理解するのがベストなのでしょうか？

※２…５色分求めるために×５が必要なのがこの問題のキーワードのようですが…、もしそれを求める必要があるなら、なんで一致する色だけ５色とこだわって、一致しない玉の色にはこだわらないのですか？３回取り出された玉が赤～緑の５色分計算する必要があるなら、一致しなかった残りの２つの玉が、「青・黄」「桃・緑」というように、やはりそれぞれの色のケースを求める必要があるのではないかと感じました。

この問題に限らず、解説を読んでいると、「なんでそうしなきゃいけないの？」「なんでこれじゃダメなの？」と理解できないことが多く、苦労しています。

回答No.4

noname#110201

もちろん、ひとつの問題にはいくつかの解き方があって、問題集の回答に書いてある解き方がすべてではありません。

この問題にしても、もっともシンプルな解き方は、ありえる場合を全部書き出してみることです。
赤・赤・赤
赤・赤・緑
・・・・・
ってね。それで、回答と比べてみてください。
場合を書き出しているうちに、X5の意味がわかってくるのでは？
自分で苦労しろって意味じゃなくて、うまく説明できないんです。
ポイントは、ありえる場合を重複なく数え上げる計算方法なのです。

一致しない玉の色にこだわらないのは、3色が同じなる場合以外は、かならず一致しない場合になるからです。
上に書いたように、全部書き出してもらえると多分わかってもらえるのではないかと思います。

赤・赤・赤　-　問題の対象
赤・赤・緑　-　対象外
赤・赤・黄　-　対象外
・・・・・

書き出しているうちに、3色が一致しなければ、何色だってかまわないし、それは数える必要のない場合であることが実感していただけると思うのですが。

ちなみに、ここでまた、別の解き方があることがわかります。
つまり、回答例のように、3色が一致した場合を直接計算するのではなく、一致しない場合を計算して、それを1から引いてもいいわけです。

お礼

ありがとうございました。