- 締切済み
添削お願いします。
高校生のものです。 次の条件を満たすaの範囲を求めよ。 二次方程式t^2-2at+3a-2=0は二解α、βをもちα≧βとするとき、不等式y≦x、y≧-x、ay≧3(x-β)で定まる領域が三角形になる。 という問題がありました。 僕はまず、α+β=2a、αβ=3a-2という条件を出し、重解を持つ条件がa≧3、a≦1という関係を出しました。 ここから場合わけで (1)a≦2/3のときαβが負となるのでβが負とういうことになりay≧3(x-β)のx軸との交点が負となるので不適。 (2)a≧2のとき βは必ず正、かつ傾きが正になる。しかし傾きが1以下だと三角形はできないのでa<3。 (3)2/3＜a≦1のとき βは正。a<3も満たすし傾きも正だから満たす。 よって答えは 2/3＜a≦1、2≦a＜3としました。 答えが無いのであってるかどうかわからないのでもし間違っていたら添削お願いします。
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
みんなの回答
- owata-www
- ベストアンサー率33% (645/1954)
関連するQ&A
- 円x^2+Y^2=1と放物線Y=aX^2-2が異なる２点のみ共有すると
円x^2+Y^2=1と放物線Y=aX^2-2が異なる２点のみ共有するとき、aの値を求めよ という問題で、 x^2+Y^2=1・・・(1) Y=aX^2-2・・・(2)とすると (1)、(2)からX^2を消去して aY^2+Y+2-a=0・・・(3) 円(1)と(2)が異なる２点のみ共有するには２点で接する場合である。 (1)と(2)はＹ軸に対して対象であるからこのときのふたつの接点の Ｙ座標は一致する。よって、(3)は-1<Y<1で重解をもつ。 (3)の判別式をＤとすると D=0 a=2+√3/2 ,a=2ー√3/2 〔１〕a=2+√3/2のときY=-2+3 になり-1<Y<1をみたすので適する 〔２〕a=2ー√3/2のとき Y=-2-3になり、 -1<Y<1を満たさないので不適。 よって答えはa=2+√3/2である。 という解答でした。解答文自体は理解できたのですが、 「円(1)と(2)が異なる２点のみ共有するには２点で接する必要がある (1)と(2)はＹ軸に対して対象であるからこのときのふたつの接点の Ｙ座標は一致する。よって、-1<Y<1で重解をもつ。」の部分で疑問が。 私は、この問題をよんだとき、「aY^2+Y+2-a=0（(3)）が-1<Y<1の間でひとつの解をもつ条件」 を考えなくてはいけないのかな？と思いました。なので、Ｄ＝０になる条件とともに、 (3)をa(Y+1/2a)^2+2-1/4a の形にして、a>0のとき軸ー1/2aはマイナスなので、 aY^2+Y+2-a=0・・・(3)をF(Y)とすると、F(-1)<0かつ F(1)>1 だと、-1<Y<1の間でただひとつの解をもつ。 a<0のとき・・・・・・・・・・・・・・・・・ というように場合わけして考えなくてはいけないのではないかな？と 思ったのですが、この場合はしなくて大丈夫なんでしょうか？ そもそも私の考えが間違っていますでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 領域を図示するときの注意
「・・・が図のように動くときPの範囲を図示せよ」などでみられるような、与えられた条件を解いていくと最後にx,yやa,bの不等式が出てきてx,yやa,b平面で表される領域があらわれるタイプについてお聞きしたいのですが、なぜいつも表される図形が対称性をもっていたり、２次関数と直線がきれいに接したりするんですか？放物線と直線の交点を調べると必ず重解をもってきますよね？なぜなのか不思議です。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高校数学の軌跡の問題で・・・
軌跡の問題でわからない点があったので質問しました。 高校数学です。 問１ aを任意の実数とするとき２つの直線ax＋y＝a x-ay＝-1 の交点はどんな図形をえがくか 問２ 問１のとき、1/√3≦a≦√3のとき2直線の交点はどんな範囲にあるか？ 問１はわかったんでが問２がわかりませんでした。 以下に問１を含めた解答です。 解説 ax＋y＝a・・・(1) x-ay＝-1・・・(2) (1)、(2)をみたす実数aが存在するためのx、yの条件を求める (2)よりay＝x＋1 （i)・・・ｙ≠０のときa=x+1/y・・・＊ (1)に代入し。 x+1/y・x＋y＝x+1/y よってx＾２＋y＾２＝１（ｙ≠０） (ii)・・・y＝０のとき x＝－１でありこのとき(1)はa=0 すなわち（x,y)=(-1,0)は条件をみたす。 （i)、(ii)より求める交点の軌跡は円x＾２＋y＾２＝１（１，０）を除く 以上が問１までの答えで、ここまでは理解できたのですが、 問２でわからないことがありました。 問２について解答 、 １/√3≦a≦√3・・・(3)として、 (1)、(2)、(3)をみたす実数実数aが存在するためのx、yの条件を求める。 問１よりｙ＝０のとき(1)、(2)をみたすaは０であり(3)をみらさない。 ｙ≠０のとき(1)(2)(3)をみたすx、yは＊より x＾２＋y＾２＝１かつ1/√3≦x+1/y≦√3・・・(4) －１＜x＜１よりx＋１＞０であり、(4)からy＞０ 求める交点の軌跡はx＾２＋y＾２＝１、√３／２≦y≦１ という解答だったのですが、(4)までは分かるのですが、 最後の「－１＜x＜１よりx＋１＞０であり、(4)からy＞０ 求める交点の軌跡はx＾２＋y＾２＝１、√３／２≦y≦１」 という部分がわかりません。とくに最後の「√３／２≦y≦１」 っていうのはどこから導きだされたのでしょうか？ 一応図も添付します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 放物線と円の共有点
こんにちは。 問題と答えは、 放物線 y=x^2 と円 x^2+(y-2)^2=r^2 (r>0) がある。 (1)４個の交点をもつrの値の範囲を求めよ。 A、√7/2<r<2 (2)放物線と円の接するrの値の範囲を求めよ。 A, r=√7/2,2 です。 (1)では疑問は、 y^2-3y+4-r^2=0 にしてこれの判別式がD＞０となるのはわかるのですが、さらに異なる二つの解をα、βとすると、α＋β＞０ αβ＞０ とも書いてあります。これはなんなんでしょうか？ (2)ではわかるのですが、重解について疑問があります。今までD>0で解が２つ、D=0で１つ、D<0で実数解なしだとおもってました。今回の問題で、r=√7/2のとき重解のようですがそれでは例えばr=2.5や4のときはなんなのでしょうか？実数解なしですか？僕には解がひとつあるように思えるのですが。なにか勘違いしているみたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 座標の問題についてです。
aを正の定数とする。放物線P:y=ax^2上の動点Aが放物線P上のすべての点を動くとき、座標平面上でy＞0の表す領域において、どの円Cの内部にも含まれない点がある。この点の集まりを図示せよ。 答えは(0,1/4a)を中心とする半径1/4aの円内部(境界含み、原点を除く) ですが、なぜ境界を含むのか分かりません。 A(t,at^2) とすると，Cは (x-t)^2+(y-at^2)=(at^2)^2 x^2-2tx+t^2+y^2-2at^2y+(at^2)^2=(at^2)^2 (1-2ay)t^2-2xt+x^2+y^2=0 どのCの内部にも含まれない(x,y)は すべてのtについて，(1-2ay)t^2-2xt+x^2+y^2≧0・・・(1) (1)の x^2-(1-2ay)(x^2+y^2)という判別式で 虚数解の時は実数tが存在しませんが、重解の時も実数tが存在しないのはなぜでしょう？ (ここで重解となると実数tが存在しないとなるため、答えに境界を含むとなっている訳ですが…) 詳しく教えていただきたいです。 よろしくお願い致します
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
書き間違えでした。 3ではなく2ですね。 ありがとうございました。