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重心?
噂で三角形abcの重心gとしたとき三角形abg=三角形bcg=三角形cagになる。 って聞いたんですけど参考書などでも見たことがありません。 これって本当ですか?
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簡単な方法が思いつかないが、座標で証明しよう。 A(0、a)、B(-b、0)、C(c、0)、a>0、b>0、c>0とする。 従って、AB=√(a^2+b^2)、AC=√(a^2+c^2)、BC=b+c。 重心Gの座標は、G(c-b/3、a/3)から、α=(c-b)/3、β=a/3とする。‥‥(1) 直線ABの方程式は -ax+by-ab=0 ‥‥(2) 直線ACの方程式は ax+cy-ac=0 ‥‥(3) 直線BCの方程式は y=0 ‥‥(4) 又、重心Gが直線ABと直線ACの下、直線BCの上にあるから、-ax+by-ab<0、ax+cy-ac<0、y>0. ‥‥(5) (5)を踏まえた上で、Gと直線ABとの距離は、ヘッセの公式より(aα-bβ+ab)/√(a^2+b^2)。 Gと直線ACとの距離も (-aα-cβ+ac)/√(a^2+c^2)。 Gと直線BCとの距離はβ。 以上から、(1)を使うと、2*△ABG=(底辺)*(高さ)=(aα-bβ+ab)=a*(b+c)/3。 2*△ACG=(-aα-cβ+ac)=a*(b+c)/3。 2*△BCG=β(b+c)=a*(b+c)/3。 以上から、△ABG=△ACG=△BCG。
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- owata-www
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本当です。 あまり適当なものはありませんでしたが参考に http://izumi-math.jp/F_Nakamura/heso/heso1_1.htm
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