二次関数について教えてください。

質問

二次関数放物線について教えて下さい。
：放物線ｙ＝ｘ２乗と直線ｌ：ｙ＝ｘ＋２との交点をＰ・Ｑとし、直線ｌとｘ軸との交点をＲとする。ただし、（Ｐのｘ座標）＜（Ｑのｘ座標）である。

問題(1)△ＯＰＱの面積を求めなさい。

問題(2)原点を通る直線ｍが△ＯＰＱの面積を２等分する場合、直線ｍの式を求めなさい。

初歩的な問題かと思いますがご存知の方是非教えてください。
解説も頂ければ有り難いです。

回答No.3

info22

#1です。
中学レベルなら、グラフを描いて
三角形の面積S=（底辺）×（高さ）/2
で計算して下さい。

直線lのy切片(y軸との交点)をB(0,2),PQの中点をM(1/2,5/2)
とおくと
(1)グラフから点P(-1,1),点Q(2,4)から
△OPQ=△OBP＋△OBQ
と分けて考え
△OBPの底辺OB=2,高さ=1であることから△OBP=2*1/2=1
△OBQの底辺OB=2,高さ=2であることから△OBQ=2*2/2=2
∴△OPQ=△OBP＋△OBQ=1+2=3

(2)グラフからΔOPQは直角三角形（∠OPQ=90°）であることから
ΔOPQ＝ΔOPM＋△OMQ
に分けて考えると
ΔOPMと△OMQのそれぞれの底辺PM,MQは
PM=MQ=PQ/2=(3√2)/2
共通の高さOP=√2
なので
ΔOPM=△OMQ={(3√2)/2}(√2)/2=3/2
なので
OMが△OPQを2等分していることが分かる。
OMの方程式ｍは原点O(0,0)とPQの中点M(1/2,5/2)を通る直線だから
y={(5/2)/(1/2)}x=5x
となります。

お礼

ありがとうございます！すっきりしました。

回答No.2

LOHA

まずはグラフを書いてみましょう。それだけでも大分答えの出し方が見えてくると思います。
以下、×は*、÷は/、xのa乗はx^aと書かせてもらいます。

～問題(1)～
解法１．普通にやる方法
まず、２交点P・Qを求めましょう。これが解らないと話が始まらないので。
普通に連立方程式として解けば、
x = -1, 2
とでて、（Ｐのｘ座標）＜（Ｑのｘ座標）ですから、Pは(-1,1)、Qは(2,4)と求まります。
ここで、点(-1,0)をA、点(2,0)をBとします。
グラフを書くと、台形PQBAの面積から、△OPAと△OQBの面積の合計を引いた値が△OPQですので、
△OPQ = (AP+BQ)*AB/2 - (OA*AP/2 + OB*BQ/2) = (1+4)*3/2 - (1*1/2 + 2*4/2) = 3
と求まります。

解法２．ベクトルを使う方法
解法１と同様にPQを求めれば、面積の公式より
△OPQ = | -1*4 - 1*2｜/2 = 3
と求まります。楽勝。

～問題(2)～
直線 m：y = ax
という風において、mとlの交点を求めて(当然aの入った式になります)、あとは問題(1)と同様にして、mで分断された△OPQの面積を、それぞれ求めます。あとはその二つの面積の式を等号でつないで、aの値を求めるだけです。
ちょっと計算が面倒なので、詳細は割愛させてもらいます。

ということで、少々分かりにくいかもしれませんが、図が描けないのでそこはご了承を。

補足

ありがとうございます。(1)はとても理解できたのですが(2)についてもう少し教えて頂けますか？できれば中学数学レベルで解読したいです。今中学レベルの数学から勉強していっており何を引用するかごっちゃになってしまってます。直線ｍとｌの交点をどう求めるのか二つの面積をどうつなぐのか・・・・宜しくお願いします。

回答No.1

info22

＞初歩的な問題かと思いますが
初歩的なら質問者さんの解答を補足に書いて質問して下さい。
丸投げの解答は禁止なので…。

(1)は単純な簡単な積分です。
(2)(1)で求めた面積の1/2の面積がｍにより1/2に分割された左側の面積に等しいとおけばいいでしょう。