• 締切済み

区分求積法 精度 考え方

工学を勉強中の大学生です。 講義で関数の近似を扱った際、区分求積法を習っているのですが、 例えばXの4乗(0<=X<=1)の積分を扱うときは、 区分求積法における分割数をどのように決め、 小数点以下の数値の妥当性を検討したらよいのでしょうか。 自分なりにはいくつか考えが浮かぶのですが、どうしても自分に都合のよいほうへ考えてしまい、自信がもてません。 よろしくお願いします。

みんなの回答

  • asuncion
  • ベストアンサー率33% (2126/6288)
回答No.1

> 自分なりにはいくつか考えが浮かぶ どんな考えですか? > 区分求積法における分割数をどのように決め、 > 小数点以下の数値の妥当性を検討したらよいのでしょうか。 どのくらいの精度の答えがほしいかによって、 分割数が決まるのではないでしょうか。 今回の場合、厳密解は0.2とわかっているのですから、 分割数と、その分割数を使ったときの厳密解からの誤差との 関係がどうなるかについて考察してみたらいかがでしょうか。

azure-kasa
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 自分でも雲をつかむような、不思議な感じがしています。 なにか、この分野における自分の知らない常識のようなものがあるのでしょうか。

azure-kasa
質問者

補足

asuncion 様 回答ありがとうございます。 実際の関数の積分値よりも大きな値になる区分求積法と、小さな値になる区分求積法の両者のうち、小数点以下が同じ値になっている桁までが精度として妥当であるという考えをもちました。 なにか対象となる実現象がないため、欲しい精度、というものが特に定められていません。そのため、例えば『小数点以下4位まで』としても5位や6位にしない理由がみつからないのです。 >分割数と、その分割数を使ったときの厳密解からの誤差との 関係がどうなるかについて考察してみたらいかがでしょうか。 はい、そのようにしてみたいと思います。この場合も誤差何%までを妥当とするのかが問題になりそうです。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • 区分求積法について

    区分求積法について。 おそらく区分求積法を使うと思うのですが 解けなかったので質問します。 lim[n→∞] 1/n*{1+cos(x/n)+cos(2x/n)+・・・・+cos((n-1)x/n)}=sinx/x を示せ。 これを纏めると lim[n→∞] 1/n*Σ[k=0→n-1]*cos(kx/n)=sinx/x ここからk/n=xとおいて解いたのですが 三角関数の積分区間が[0→1]となってしまい 先へ進めなくなりました。 よろしければ回答お願いします

  • 微積分 区分求積法

    区分求積法についての質問です。 区間[0,1]における、x^2+1の下積分の作る面積を求めようとしています。 積分を使って求めると、 ∫(x^2+1)dx =[1/3x^3+x](1to0)となり、4/3と求まります。 同じ計算を区分求積法を使って求めると、面積が無限大になります。 計算間違いをしているのだと思いますが、 計算間違いの箇所を指摘してください。 x^2+1をn個に分割すると、 面積は幅1/n、高さが1/n・(k^2+1+k^2)/2の長方形の合計となる。 従って、S=Σ[1/n・1/n・(k^2+1+k^2)/2](k=1 to n) =(1/12n(n+1)(2n+1)+1/2n)/n^2 =(2n^2+3n+7)/12n =1/4+(7+2n^2)/12n n→∞の時 S=∞

  • 区分求積法の計算について

    区分求積法を用いた積分の解き方について、ご教授お願いします。 途中まで解いたのですが、このあとどうすればいいかわかりません。 わかる方、ご指導宜しくおねがいします。 【問題】 閉区間[1,3]をn等分して得られる分割を考え、 定積分の定義にしたがって(区分求積法を用いて)、次の計算をせよ。 ∫[1→3] (2x+1) dx 【自分の答え】 1~n番目までn個に分割した時のk番目の微小面積を合計する。 k番目のx座標(=微笑面積のx座標)は、 1+(2/n)*(k-1)と表すことができる。 よって、k番目の微小面積は (2 * ( 1 + (2(k-1)/n)) + 1) * (2/n) これを、1~n番目まで足し合わせるので、 Σ[k=1~n] (2 * ( 1 + (2(k-1)/n)) + 1) * (2/n) これのn→∞の場合を計算する。 区分積分法の基本公式 ∫[0→1]{ f(x) }dx = lim[n→∞]{n*Σ[k=1~n] {f(k/n)}}より、 ∫[1→3]{ 2x+1 }dx = lim[n→∞]{Σ[k=1~n] (2 * ( 1 + (2(k-1)/n)) + 1) * (2/n)} ※ここから、どう計算をおこなえばいいかわかりません。  Σを展開すればいいとは思うですが。。。 以上、ご指導のほど、よろしくお願いします。

  • 区分積分法の計算

    以下の問題解き方がわかりません。 置換積分で解いてみたら、答えが10になったのですが、 区分積分法では、どのようにといたらよいか思案してます。 わかる方おられましたら、どのように解いたらよいか 解き方を教えていただけないでしょうか? 【問題】 閉区間[1,3]をn等分して得られる分割を考え、 定積分の定義にしたがって(区分求積法を用いて)、次の計算をせよ。  ∫[1→3] (2x+1) dx 【答え】 ※2x+1=tとおく置換積分で解いたら10になったのですが、   区分求積法の計算方法がわかりません。 以上、ご指導のほど、よろしくお願いします。  

  • 区分求積法

    いつもお世話になっています。 独学で勉強していて、区分求積法のところまできました。 x^n を a~b の範囲で積分すると  { b^(n+1) - a^(n+1) } / (n+1) となることはわかりました。 次に、e^x を添付画像のようにやってみましたが、 これで合っていますでしょうか? 最後の行のところで  lim[h→0] (e^h - 1)/h = 1 を使ってます。

  • 区分求積を用いるときの積分区間は必ず[0,1]?

    区分求積法の問題ではn等分する区間が[0,1]となっていますが,解答でそれ以外は見たことがありません。 他の積分区間を考えなくても,必ず[0,1]でできるのでしょうか? 大学入試レベルでの,区分求積法についての質問です。 宜しくお願いします。

  • 区分求積法と和の極限について

    積分演算でグラフ上の面積を導出する説明に、区分求積法というものがあります。 この区分求積法と積分の関係を応用して、 lim(x→∞)Σ(k=1→n){(n+k)/n^4}^-3 のような極限値を求める方法があります。 上式であれば、x=k/n^3とみなして、 Σの中身を (1/n)(1+x)と変換し、 ∫(1-0){1+x}^-3の式の結果として、 {3(2)^(1/3)}/2 - 3/4 といった結果を得るわけです。 この変換と計算結果自体は良いのですが、 上記計算で便宜上用いたxy平面上のグラフは 一体どんなグラフで、どんな面積を求めているのでしょうか? 代数学は、現象を代数化し、抽象化することで、経過を飛ばして結果を得ることのできる学問だ、とは理解しているものの、どうにもこの部分がすっきりと頭に入ってこず、気持ち悪い思いをしております。 どなたかご教授願います。

  • 区分求積法

    区分求積法からlim(n->∞)1/nΣ(k=0,n-1)1/{1+(k/n)}は∫(0->1)1/(1+x)dxでlog2 となるのは、分かりますが、 (1)lim(n->∞)(1/n)^2Σ(k=0,n-1)1/{1+(k/n)}は  単純にlog2/nとして、0にはならないと思います。  こんなことをしたら、区分求積法をわかっていないといわれてしまう  と思います。これを正しく解くにはどうしたら良いでしょうか。 (2)lim(n->∞)1/nΣ(k=0,n-1)1/{1+(k/n)*((k-1)/n)}も  単純に(k-1)/nの部分をk/nとはできないと、思いますが、  どうしたらよいでしょうか。 よろしく、お願いします。    

  • tan の区分求積法

    いつもおせわになっています。 ここで皆さんに質問しながら、  x^n , e^x , sin(x) , cos(x) の定積分を区分求積法で計算することができました。 次に tan(x) をやってみたのですが、どうしてもうまくできません。 画像のように加法定理を使ってみたのはいいのですが、 どうやってもΣの計算ができないのです。 どのように計算すればよいでしょうか?

  • 区分求積の変換

    lim(n→∞){1- 1/nΣ(k=1 to n)(k-1/n)5乗} =1-∫(0→1)x5乗dx と解説に書いてあったのですが区分求積の場合だとxに置き換えるのはk/nの時ではないんですか? 分かる方、回答よろしくお願いします。