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sinを含む方程式の解
stomachmanの回答
とてもスマートには行かないと思います。本気で取り組むと、これだけで結構な仕事になっちゃう。 この方程式をいろいろな係数について何度も解くのかどうか、係数の精度がどの位か、値の範囲がどうか、などによってかなり事情が変わりますが、とりあえず一般論。 A=0,w=0,B=0のどれかの場合は簡単ですから、これらの場合は除外します。 T=wt, b=-B/(wA), c=-C/Aとおいて sin(T) + b T + c = 0 |b|≧1なら解は1個だけですが、|b|<1だと|b|が小さくなるほど解の数が多くなる。全部の解を求めるということだとなかなか大変です。 まず、|bT+c|≦1の範囲だけ調べれば良いことは自明です。(特定の範囲の解を求めるなら、そこだけ検討すればよい。)nπが求めたい解Tに近いような整数nを選んで、 nが偶数→T=x+nπ nが奇数→T=nπ-x と変数変換して代入し、 f(x)=sin(x)+p x + q f'(x)=cos(x)+p と表します。すると、x∈-π/2~π/2の間でf(x)=0の解を探せばよい。この範囲には最大3個の解があり得ます。そこで、近似的な出発値x[0]を見つけてこれをNewton法 x[n+1]=x[n]-f(x[n])/f'(x[n]) で改良するのが簡単です。ただし重解(y=0がy=f(x)の接線になっている)に近い場合は数値的に不安定になります。これをきちんと処理するのは難しい。(Tをπで割った余りを精密に計算する必要があり、数値の有効桁数が不足する現象(桁落ち)が起こるため、本当にy=f(x)がy=0に交差しているのか、接しているのか、微妙に離れているのか区別できなくなる恐れがあるからです。) 出発値x[0]を得るには、例えば適当な次数のマクローリン展開でも結構ですが、何度も解くのなら単にsineの数表を作っておいてlook upするのが簡単です。
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