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量子統計のボルツマン分布の謎？
量子統計の分配関数を Z = sum_{n} Exp( - beta epsilon_n ) と書くことにします。 epsilon_n はハミルトニアンのn番目の固有値とし、 beta は1/(k_b T)で、k_bはボルツマン定数、Ｔは温度(ケルビン)です。 原子単位系(h/2π = 電気素量 = 電子の静止質量 = 1)で、試算してみると、betaの値が、T=315.7ケルビンの時、約１０００となってしまいました。 betaが非常に大きいので、epsilon_nが最小の状態（基底状態）以外は、常温および低温では分配関数に効いてこないように思います。 量子統計では、この様な温度領域を扱う場合、基底状態だけ考慮して議論しているのでしょうか？そもそも量子統計はもっと高温を扱う理論なのでしょうか？ 以上 よろしくお願いします。
- atushi256
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＃２です。 >量子統計はこの温度ではほとんど威力を発揮しないのでしょうか？ 中性原子やイオンの基底状態も、細かく見ると励起エネルギーが << 1 eV のいくつかの準位に分かれていることがあります。それらの準位の励起状態を考えるときには、常温でも量子統計の「威力」が顕在化するでしょうね。
その他の回答 (2)
例として原子の励起状態の分布を考えると、基底状態からの励起エネルギーは、たいてい 1 eV くらいはありますよね。1 eV は温度では 10^4 K くらいに対応します。よって、常温では原子はほとんど励起されないわけで、励起状態は分配関数にほとんど寄与しないわけです。不思議なことは何もありません。
お礼
回答ありがとうございます。 ＞基底状態からの励起エネルギーは、たいてい 1 eV くらいはありますよね なるほど、としますと、励起状態は、実際に効いてこないべきであって、beta=1000となったのは、おかしくないという事ですね。それはすなわち、量子統計はこの温度ではほとんど威力を発揮しないのでしょうか？
- ojisan7
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>>基底状態だけ考慮して議論しているのでしょうか？ 「基底状態だけ」というふうに、限定するよりは、「エネルギーの低い状態」というふうに、もう少し幅を持たせた方がよいでしょうね。 確かに、温度が低ければβは大きくなりますから、主に、エネルギー準位の低い部分だけが分配関数に影響します。 温度が高ければβは小さくなりますので、ある程度エネルギー準位の高い状態まで分配関数に影響を与えることができます。 粒子は、なるたけ、エネルギーの低い方から順番に充填しようとする傾向があることを考えると、当たり前のような気がしますがどうでしょうか。
お礼
回答ありがとうございます。 >粒子は、なるたけ、エネルギーの低い方から順番に充填しようとする傾向があることを考えると、当たり前のような気がしますがどうでしょうか。 エネルギーの低い順位に入ろうとするのは確かです。疑問なのは、常温という、感覚的には高い温度でもあるにもかかわらず、励起状態がほとんど効いてこないのは納得がいかないことです。 量子統計という分野自体は、イメージとして常温でも有効な理論であると思っていました。しかし、そうではないと言う事なのでしょうか？一般的には、もっと高温の系に対して適用されるべきなのだろうか？と思い質問させていただきました。
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