三角関数の最大値と最小値を求める問題の解法
- 関数y=3cos^2θ-8snθcosθ+5sin^2θ(0≦θ≦π/2)の最大値、最小値を求める方法について解説しています。
- 式の変形を通じて最大値、最小値を求める手順を詳しく説明しています。
- 積和の公式においてsin(θ-θ)の部分がsin0になることについて説明しています。
- ベストアンサー
三角関数
関数y=3cos^2θ-8snθcosθ+5sin^2θ(0≦θ≦π/2)の最大値、最小値を求めよ。 という問題なんですが 解説に =3-4*2sinθcosθ+2sin^2θ =3-4sin2θ+2*1-cos2θ/2・・・(1) =4-(4sin2θ+cosθ)・・・(2) =4-√(17)sin(2θ+α) ・・・ と書いてあるんですが (1)と(2)の変形はどうやっているんでしょうか? あと 積和の公式sinθcosθ=1/2{sin(θ+θ)+sin(θ-θ)}の sin(θ-θ)の部分はsin0になるんですがsin0=0でいいんでしょうか? 回答よろしくお願いします。
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数0
- みんなの回答 (1)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
合成か、ちょつと考え難いところがあるので余り薦めない。 では、どうするか? (2)より、sin2θ=a、cos2θ=bとすると、a^2+b^2=1 ‥‥(3) 又、0≦θ≦π/2より0≦2θ≦πであるから、0≦a≦1、-1≦b≦1 ‥‥(4) y=4-4sin2θ-cos2θ=4-4a-bであるから、(3)と(4)の条件の下でb=-4a+4-y ‥‥(5) の値の範囲を定めると良い。 (3)と(4)をab平面上に図示すると、(3)の円の右半分だから、最小となるのは(5)が点(0、-1)を通る時、即ち y=5. 最大値は、(3)と(5)が接する時であるから、原点と直線との距離の公式を使うと(判別式でも良い)y=4+√17である。このとき、a=4/√17. 以上から、5≦y≦4+√17。
関連するQ&A
- 三角関数の問題がまったくわかりません・・・
三角関数の問題がまったくわかりません・・・ cosθ+sin2θ+cosθ>0を満たすθの範囲を求めよ。ただし、0≦θ<2πとする。 和→積の変形または3倍角の公式で求められるとのことですが・・・ どう解けばいいのでしょうか?解き方だけでも教えていただけるとうれしいです。お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数について質問
こんばんは。 三角関数について質問があります。 0≦α<360°のとき、関数y=cos2θ+2sinθの最大値と最小値を求めよう。 この問題については cosθ=1-2sin^2θを代入し、 =-2(x-(1)/2)^2+3/2 から最大値、最小値を求められます。 上記のようなやり方で三角関数をつかわず y=sinθ+√3cosθ や y=sinθ+cosθ を最大値、最小値をもとめられるでしょうか? (問題集では三角関数を使い解いています) 不可能な場合、どうしてだめかも教えてください。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数
(1) 0≦θ<2πのとき、関数y=cos^2θ+2sinθの最大値と最小値とθについて。 y=cos^2θ+2sinθ =(1-sin^2θ)+2sinθ =-sin^2θ+2sinθ+1 =-s^2+2s+1 =-(s^2-2s)+1 =-(s-1)^2+2 (-1≦s≦1) (2) 0≦θ<2πのとき、関数y=8cos^2θ-8sin^2θ+1の最大値と最小値とθについて。 y=8(-sin^2θ+1)-8sin^2θ+1 =-8sin^2+8-8sin^2θ+1 =-16sin^2+9 =-(16sin^2-9) (3) 0≦θ<2πのとき、関数y=2sin^2θ+2cosθ+4の最大値と最小値とθについて。 2sin^2θ+2cos^2θ=2 2sin^2θ=2-2cos^2θ y=2-2cos^2θ+2cosθ+4 =-cos^2θ+2cosθ+6 (1)(2)(3)途中まであっていますか? (1)(2)(3)のやり方を教えて下さい。。。
- 締切済み
- 数学・算数