成長曲線として使われるロジスティック曲線やゴンペルツ曲線が考案された理由

質問

人口やソフトウェアの累積発見バグ数等の増加の様子を示す成長曲線をモデル化したものとして、ロジスティック曲線やゴンペルツ曲線が使われる様ですが、これらの曲線の式はどの様な理由で定められたのでしょうか？

これらの曲線の式は「最初は成長が遅く、次第に加速度をもって（指数関数的に）増加し、　ある程度成長が進むと頭打ちになる。」というような特徴をモデル化するのに、一番シンプルな式なんでしょうか？私にはロジスティック曲線やゴンペルツ曲線の式は十分複雑に見えてしまうのですが。

また、この２つの式が表す特徴の違いについても教えていただければ幸いです。たとえば、ロジスティック曲線は○○という特徴を持ち、○○等の成長をモデル化しており、一方、ゴンペルツ曲線は…、というようなお答えを頂けると嬉しいです。

よろしくお願いいたします。

回答No.2

shuinsv

ゴンペルツ曲線を一般的に表現すると以下の通りです。別に複雑ではないですよね？
y = c * a^(b^x)
yがバグの累積数、xが時間とする事例が多いと思います。例えば、c=1、a=0.5、b=0.4とし、適当な(x, y)でExcelでグラフを描いてみて下さい。とても綺麗なグラフが書けるでしょう。

「定められた」のではなく、人口増加やバグの累積数を表現するのに、「経験的にピッタリする事が発見された」が正しいです。そして、これらの曲線に従っている(＝適合している)と仮定すると、「XX年後には飽和する」といった予想が出来る、というのが実際です。

ロジスティック曲線もゴンペルツ曲線も厳密な使い分けは無いです。どちらがより適合するかはその事例に依ります。数学的に言えば、パラメータ(上式で言えばa、b、c)数が多い程、複雑な事例に適合し易いです。

回答No.1

ymmasayan

成長曲線と言うのは生物の成長なども入っています。
システムの場合、信頼度成長モデルと言います。
これは信頼性の向上の過程を、摘出したエラー件数により、グラフ化するものです。
ロジスティック曲線やゴンペルツ曲線の由来はわかりませんが、一般に
ロジスティック曲線はテストの中間時期に適し、
ゴンペルツ曲線はテストの開始・終了時期に適していると言われています。

お礼

早速のお答えありがとうございます。

あてはめる信頼度成長曲線のモデルをソフトウェアのテスト段階に応じて変えるのですか。興味深い情報です。
うーん、しかし、なぜなのでしょうね？
またこの２つの曲線以外に、すべてのテスト段階で適合性が高い曲線の式なんてのも誰かが考えているかもしれないですね。