偏微分

質問

偏微分を何故用いるか例を挙げて教えてください。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

１．
波を表す方程式（波動方程式）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%A2%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
http://www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/partial/
波動方程式では、波の位相を位置で偏微分したものと時間で偏微分したものとが統合で結ばれます。
これは、１波長分だけ位置がずれているのと、１周期だけ時間がずれているのが、同じことである（という当たり前の）ことを示しています。

２．
古典電磁気学のすべてを表す、マクスウェルの４つの方程式
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%A2%E5%8B%95%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
たとえば、電場は電位（ポテンシャル）の微分で求まりますが、電場のＸ成分、Ｙ成分、Ｚ成分は、それぞれ、ｘ、ｙ、ｚの偏微分で求まります。
ちなみに、∇とは、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8A%E3%83%96%E3%83%A9

３．
重回帰、あるいは、二次以上の関数への回帰　（最小二乗法の拡張）
http://gucchi24.hp.infoseek.co.jp/MRA1.htm
たとえば、（ｘ、ｙ）というｘ、ｙ一組の形式のデータが与えられていて、それを二次関数
ｙ　＝　ａｘ^2　＋　ｂｘ　＋　ｃ
の形に近似したいとするとき、
各データ（ｘ1，ｙ1）（ｘ2，ｙ2）（ｘ3，ｙ3）（ｘ4，ｙ4）・・・
についてそれぞれ、
εn　＝　ａｘn^2　＋　ｂｘn　＋　ｃ　－　ｙn
というεn（回帰曲線からのずれ）を考えることができます。
最小二乗とするには、
Ｖ　＝　Σ（εn）^2　＝　Σ（ａｘn^2　＋　ｂｘn　＋　ｃ　－　ｙn）^2
となります。
Ｖを、ａ、ｂ、ｃ　のそれぞれで偏微分ます。
ずれが極小になる条件は、
∂Ｖ／∂ａ　＝　０、
∂Ｖ／∂ｂ　＝　０、
∂Ｖ／∂ｃ　＝　０
ですので、この連立方程式を解けば、採用すべきａ、ｂ、ｃの値が求まります。

ぱっと思いついたのは以上です。
ご参考になりましたら。

お礼

ありがとうございます！！
参考になりました。