- ベストアンサー
テーラー展開で数値を求めたいのですが・・・
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
数学は全く素人ですが、ある数の周りで展開して計算するなら、その数での関数値、n階の導関数の関数値がわかっている必要がありますよね。 今の例ならx=0の周りの展開しかないのではないでしょうか。 cos x=Σ(cos^(r)(a))/r!)(x-a)^r + (剰余項) ここでcos^(r)(a)はcosをr回微分した関数のaにおける値の意味。Σはrについての和ですが、a=0とすると cos x=Σ(cos^(r)(0)/r!)x^r となります。 cos xを微分してもsin xとcos xしか出てこないので、cos0とsin0しか出てこないからこれなら計算が容易です。 実際 cos x=1-(1/2!)x^2 + (1/4!)x^4 - (1/6!)x^6 +・・・ しかもx=0.1だから、展開で得られた式に代入しても高次の項の影響も急速に小さくなります。
その他の回答 (1)
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
> cosxをx=0.1でテーラー展開するのか、 cos(x)をx=0でテーラー展開して下さい。 テーラー展開式の第2項までの和の近似式でx=0.1とおけば、少数第5位まで正しく計算できます。
関連するQ&A
- テイラー展開について教えてください。
テイラー展開に関する問題です テイ ラー展開に関する問題です。 (1)以下の関数のx=0を中心としたテイ ラー展開をし、一般項を書け。 (i)cosx (ii)1/(1-x) (2)x=0を中心とした1/(2-x^2)のテイラ ー展開をし、一般項を書け。 (3)x=0を中心とした(cosx)/(2-x^2)のテ イラー展開をx^6の項まで求めよ。 (4)lim[x→0](1/x^4){(cosx/(2-x^2))-(1/2)}を求めよ。 以上です。 自分でも求めたのですが、あってい るかが分かりません。 確認お願いします。 (1)(i)cox=Σ[n=0→∞]((-1)^n)(x^(2n))/(2 n)! (ii)Σ[n=0→∞]x^n (2)1/(2-x^2)のテイラー展開は自信が ないのですが、これをテイラー展開 の式に代入して求めていくとすごく 時間がかかるので、 1/(2-x^2)=(1/2){1/(1-(x^2/2))}と変形し 、(1)の(ii)と同じようにして、Σ[n=0→ ∞](1/2)(x^2/2)^nとなりました。 果たして、これでいいのでしょうか ? (3)たぶんこれは(1)と(2)の結果を使え ということだと思うのですが、これ は(cosx)と1/(2-x^2)のそれぞれの項を かければいいだけですか? たとえば、1項は、cosxの1項目の1 と、1/(2-x^2)の1項目の1/2をかけて 、1/2となるのでしょうか? (4)これはちょっと分からないです。1 /x^4がかかっているので、テイラー 展開したものでも分母にxの項が入っ てしまい、発散しそな気がしたので すが、そんなはずはないので、よくわからないです 回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テーラー展開(マクローリン展開)について
テーラー展開についての質問です。 問題=============================================== 1/cos x のx=0を中心とするテーラー展開を4次の項まで求めよ。 =============================================== この問題の解答例として、以下のような解説があったのですが、 わからない点が有ります。 <解答例> cos x のマクローリン展開は、 cos x = 1 - x^2/2! + x^4/4! + … ( |x| < + ∞)であるから、 1/cos x = 1/( 1 - x^2/2! + x^4/4! + …) ここで、 1/(1 - x) のマクローリン展開が Σ{n=0→+∞} x^n で与えられるので、 これを利用して、 1/cos x = 1 + (x^2/2! - x^4/4! +…) + (x^2/2! - x^4/4! + … )^2 + … ー(1) = 1 + x^2/2 + 5x^4/25 +… ー(2) となる。 ここで疑問なのは、 1/(1 - x) のマクローリン展開は、|x|<1 の条件が成り立つ時に限り収束するので、 適用できるわけじゃないですか? (1)から(2)のような形にする場合に、 |(x^2/2! - x^4/4! +…)| < 1 となっていないのに、このような展開をしてもいいのでしょうか? 具体的には、cos x は xの値によって -1 <= cos x <= 1 まで取り得るので、 cos x のマクローリン展開の初項が1ということは、 それ以下の項の和がxの値次第で -2程度になることも考えられると思うので このような展開をしてはいけないと思うのです。 当方 テーラー展開についてよく熟知していないため、 ご指導お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テーラー展開するには
e^-xをテーラー展開するということはマクローリン展開すればよいのですか?問題ではxの値が指定されていません。さらに、近似誤差が1%以内となるxの値も問われています。どうすればよいか詳しく教えてください。
- 締切済み
- 数学・算数