整数部分、小数部分の問題の解法を教えて下さい。

質問

以下の問題がわかりません。
どなたか頭の良い方、解法を教えて下さい。

〔問題〕
nを正の整数とし、(5*2^(1/2)+7)^(2n+1)の整数部分をA、小数部分をaとするとき、(A+a)aの値を求めなさい。

〔答え〕
(A+a)a = 1

回答No.3

nettiw

[(5√2+7)^(2n+1)]
=[(5√2+7)^(2n+1)-(5√2-7)^(2n+1)]+[(5√2-7)^(2n+1)]
と変形し、

二項定理を念頭において、

(5√2+7)^N-(5√2-7)^Nは、

偶数次数では、
(5√2+7)^(2n)-(5√2-7)^(2n)
√2がつかない項は相殺し、√2のついた項のみが残り、
整数にはならないけれど、

奇数次数では、
[(5√2+7)^(2n+1)-(5√2-7)^(2n+1)]
√2のついた項は相殺し、√2がつかない項のみが残り、
[整数]となります。

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さらに、問題が成立するように、5√2-7　が、
0＜5√2-7＜1 の範囲に収まるよう、数を選らんであります。
実際、
√2=1.414...、5√2=7.07...、5√2-7=0.07...
0＜r＜1 のときは、0＜r^(2n+1)＜1 、
0＜[(5√2-7)^(2n+1)]＜1
つまり、(小数部分)a=[(5√2-7)^(2n+1)]
(整数部分)A=[(5√2+7)^(2n+1))-(5√2-7)^(2n+1)]
......
(A+a)a
=[(5√2+7)^(2n+1)][(5√2-7)^(2n+1)]
=[(5√2+7)(5√2-7)]^(2n+1)
=1^(2n+1)=1
......　　。