整数部分、小数部分の問題の解法を教えて下さい。

質問

以下の問題がわかりません。
どなたか頭の良い方、解法を教えて下さい。

〔問題〕
nを正の整数とし、(5*2^(1/2)+7)^(2n+1)の整数部分をA、小数部分をaとするとき、(A+a)aの値を求めなさい。

〔答え〕
(A+a)a = 1

回答No.2

noname#75273

>> この発想はどのようにして思いつくのですか？
残念ながら私もこの問題を最初見たとき分かりませんでした。（解法は、覚えていただけです。）

>> A(n)：整数　これはどのような意味でしょうか？A(n)は整数部分？
A(n) = (5√2 + 7)^(2n+1) - (5√2 - 7)^(2n+1)とおくと、
A(n)は整数になる。という意味です。（結果的には整数部分になるのですが、現時点でのA(n)は整数ということです。）

また、A(n)が整数になることの簡略証明としては、
　(X + Y)^(2n + 1) - (X - Y)^(2n + 1)　　（二項定理より）
= (k=0～2n+1)Σ(2n+1_C_k・X^(2n+1-k)・Y^k・(Y^k - (-Y)^k))
ここで、Kが偶数の場合は0、kが奇数の場合は「X^(2n+1-k)は、Xの偶数乗」より、
X = 5√2、Y = 7を代入すると、5√2の偶数乗すると、整数。
∴　(5√2 + 7)^(2n+1) - (5√2 - 7)^(2n+1)：整数　■

>> 0 < (5√2 -7)^(2n+1) < 1　ならば、A = A(n)　　a = (5√2 -7)^(2n+1)となることがわかりません。
まず、A(n) = (5√2 +7)^(2n+1) - (5√2 -7)^(2n+1)　とおいたので、
(5√2 +7)^(2n+1) = A(n) + (5√2 - 7)^(2n+1)…(1)　となります。
A(n)：整数…(2)
0 < (5√2 - 7)^(2n+1) < 1…(3)
(1)、(2)、(3)より、(5√2 +7)^(2n+1)の整数部分はA(n)、(5√2 +7)^(2n+1)の少数部分は(5√2 - 7)^(2n+1)となります。