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(logx)^2の原始関数をお教えください
以下の原始関数を教えて下さい。自信がありません。 ∫(logx)^2・dx 問題には、正確には｛log(e)x｝^2dx、と底がeとかいてありますが、 log(e)xはlogxと考えても大丈夫でしょうか？
- hashidream
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正しい、原始関数は x*(log(x)^2-2*log(x)+2) です。 出し方は#4さんのやり方で出せますが、計算間違いされているようです。 #3,#4さんの積分結果（原始関数）とも正しくないですね。 微分してみると元の被積分関数に戻りません。 ここでは log(e)xは自然対数で大学の数学では「ln x」と書いて区別することがあります。高校では対数の勉強では対数の底を10にしたり、微積分を扱う場合は対数の底をe(ネピア数またはネイピア数、自然対数の底)として扱います。これを単にlogと書いたりするので混乱します。混乱を避ける場合はlog(e)x と書きます。高校の微積分では(e)を省略して書かないことが多いです。はっきり区別したい場合は、log(e)x やlog(10)x とします。
その他の回答 (7)
- kup3kup3
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◎ nを正の整数とするとき、公式 ∫(logx)^n・dx=xΣ[k=0 n](-1)^k×(_nP_k)×(logx)^(n-k)＋Ｃ となります。 ここに _nP_kは[n個の異なるものの中からk個の異なるものを取り出す順列の数」です。 遥か昔昔に発見しました。部分積分を繰り替えすだけです。 n=2として、 ∫(logx)^n・dx=x×_2Ｐ_0(logx)^2－x×(_2Ｐ_1)(logx)^1 +x×(_2Ｐ_2)(logx)^0＋Ｃ =x×1×(logx)^2－2×(logx)＋x×2×1＋Ｃ =x(logx)^2－2(logx)＋2x＋Ｃ なお、数学、特に数３以上、大学ではlog(e)xをlogxとかいてしまう。 計算機などでは 常用対数「log_10(x)」をlogx、なお、自然対数log(e)xを lnxと書きます。
お礼
お礼が遅くなりましてすみませんでした。 ありがとうございました。 すごい公式ですね。
失礼！ ∴∫t^2・e^t・dt=t^2・e^t-2・(t-1)・e^t=(t^2-2t+2)・e^t 変数を元に戻して ∫(logx)^2・dx=[{log(e)x}^2-2・log(e)x+2]・x とすべきでした。
お礼
No.4でも回答していただきありがとうございました。
- nettiw
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入れ子状の部分積分です。 ∫dx[logx] =x・logx -∫dx[x・(1/x)] =x・logx - x・・・Ａ ∫dx[(logx)^2] =x・(logx)^2-∫dx[x・(2/x)(logx)] =x・(logx)^2 - 2∫dx[logx]・・・Ａを代入して、 =x・(logx)^2 - 2x・logx+2x =x[(logx)^2 - 2logx+2] >> log(e)xはlogxと考えても・・・ 常用対数と区別するのに、親切にeをつけてあります。 微積では、（底を書いてないときは）自然対数です。
お礼
お礼が遅くなりましてすみませんでした。 ありがとうございました。 分かりやすく教えていただき感謝してます。
log(e)x=t と置くと x=e^t, そして dx=e^t・dt 以下、log(e)x を logx と書きます。 ∫(logx)^2・dx=∫t^2・e^t・dt=t^2・e^t-2∫t・e^t・dt ∫t・e^t・dt=t・e^t-∫e^t・dt=(t-1)・e^t ∴∫t^2・e^t・dt=t^2・e^t-2・(t-1)・e^t=(t^2-2t+1)・e^t 変数を元に戻して ∫(logx)^2・dx=[{log(e)x}^2-2・log(e)x+1]・x なお、log(10)x=t と置くと、t=log(e)x/log(e)10 なので log(e)10=a と書くと、dx=a・e^(at)・dt となり、当然答えは異なります。
お礼
お礼が遅くなりましてすみませんでした。 ありがとうございました。とても分かりやすい解き方を教えていただき感謝してます。
- mamoru1220
- ベストアンサー率46% (104/225)
因みに積分すれば x^2 * (logx)^2 - 2xlogx + 2x です。
お礼
No.1とこちらと、ご回答いただきありがとうございました。 お礼が遅くなりましてすみませんでした。 ありがとうございました。
- stmasa
- ベストアンサー率0% (0/1)
一般的にlog(e)xの底eは省略されることが多いのでlog(e)xはlogxでいいと思います
お礼
お礼が遅くなりましてすみませんでした。 やはりこの場合のlog（e）xはlogxでいいのですね。 ありがとうございました。
- mamoru1220
- ベストアンサー率46% (104/225)
底がeの場合を特に自然対数と言うので、省略可能です。（というか一般的には書きません） ∫1*(logx)^2 dx として部分積分をしてみてください。
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