- ベストアンサー
ΔABCでtanA+tanB+tanC=tanAtanBtanCの図形的解釈
A+B+C=πのとき、tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC という関係が成り立つのですが、tanの加法定理を用いれば示すことが出来ます。 しかし、その図形的解釈として、 ΔABCの垂心をHとするとき、 面積ΔABC=ΔABH＋ΔBCH+ΔCAHから導かれるとありました。 それが分からないので、分かった方は教えていただけないでしょうか?
- ddgddddddd
- お礼率37% (170/456)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数4
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
他にもっときれいなのがあるでしょうが・・ Ａ，Ｂ，Ｃから対辺に引いた垂線をＡＰ，ＢＱ，ＣＲとする。 例えば、四角形ＡＲＨＱの内角の和から、∠ＢＨＲ＝∠ＣＨＱ＝∠Ａ。同じように、∠ＡＨＲ＝∠ＣＨＰ＝∠Ｂ，∠ＢＨＰ＝∠ＡＨＱ＝∠Ｃ。 よって、△ＡＨＲで、ＡＲ＝ＲＨ*tanＢ 同様にして、 ＢＲ＝ＲＨ*tanＡ，ＢＰ＝ＰＨ*tanＣ，ＣＰ＝ＰＨ*tanＢ，ＣＱ＝ＱＨ*tanＡ，ＡＱ＝ＱＨ*tanＣ。 △ＡＢＣの面積をＳとすると、 Ｓ＝△ＡＢＨ＋△ＢＣＨ＋△ＣＡＨ ＝(1/2)(ＡＢ*ＲＨ＋ＢＣ*ＰＨ＋ＡＣ*ＱＨ) ここで、上のことから、例えばＡＢ*ＲＨ＝(ＡＲ＋ＢＲ)*ＲＨ＝ＲＨ^2*(tanＡ＋tanＢ)などと表せて、 Ｓ＝(1/2){ＲＨ^2(tanＡ＋tanＢ)＋ＰＨ^2(tanＢ＋tanＣ)＋ＱＨ^2(tanＡ＋tanＣ)} －－－(1) 一方、見方をかえて Ｓ＝(1/2)*ＡＢ*ＣＲ＝(1/2)*ＡＢ*ＡＲtanＡ＝(1/2)*(ＡＲ＋ＢＲ)*ＡＲtanＡ＝・・略＝(1/2)ＲＨ^2*tanＡ*tanＢ*(tanＡ＋tanＢ)－－(2) 同様に、 Ｓ＝(1/2)ＰＨ^2*tanＢ*tanＣ*(tanＢ＋tanＣ)－－(3) Ｓ＝(1/2)ＱＨ^2*tanＡ*tanＣ*(tanＡ＋tanＣ)－－(4) (1)に(2)～(4)を入れれば Ｓ＝Ｓ/(tanＡ*tanＢ)＋Ｓ/(tanＢ*tanＣ)＋Ｓ/(tanＡ*tanＣ) ∴tanＡ*tanＢ*tanＣ＝tanＡ＋tanＢ＋tanＣ
関連するQ&A
- tan90°は正接の加法定理で出せるのではないか?
tan90°y/xより1/0で値なしと定義されていますが 正接の加法定理 tan(A+B)= tanA+tanB/1-tanAtanB を利用し tan(30°+60°)やtan(45°+45°) で計算できてしまうのではないでしょうか。 高校の先生に聞いたところ 「すでに値を出すものに使う式ではない」 という答えを頂きましたがいまいち納得できません。 高校2年生がわかる範囲(数12AB)で解説お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数の値の有理性
角度は度数表記とし、さらにθを自然数とする。 このとき、sinθ, cosθ, tanθのそれぞれについて、 その値が有理数となるθを求めたい。 但し、自明な角度θ≡0°（mod 90°）は除く。 例えば,tanθの場合は, θが45°の定数倍の角度のときに限られるようです。ですが，事実を知ったのみで、証明がわかりません。 tanに関する加法定理から、 『tanA, tanBが有理数であればtan(A+B)は有理』・・・補題１ なので，この系として 『tanDが無理数なら, Dの“約数”Cに対してtanCは無理数』・・・補題２ ※角度の約数とは，角度から単位をとり自然数と見なしています。 が成り立ちます。この補題２とtan60°が無理数であることから 1°，2°，3°，4°，5°，6°， 10°，12°，15°，°20°，°30° についてそのtanの値は無理数であることがわかります。 ここまで理解できたのですが，それ以外の絞り込みができません。 どうしたら候補を45°の定数倍の角まで絞り込めるのでしょうか？ ご存知の方がいましたら教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 図形
△ABCの外心をO,重心をG、垂心をH,BCの中点をＭとすると (1)AH=2OMであることを示す。 (2)O,G,Hは一直線状にあって、OG:GH=1:2であることを示す。 問題の２つについて教えてください。 数学1の平面図形を勉強してからこの問題に取り組んだのですが問題になるとわかりません。 〇△ABCの外心だから図は三角形の外周りに円がある図形。 〇重心は三角形の頂点とその対辺の中点を結ぶ 3 つの線分は 1 点で交わり、比が1:2 〇垂心は三角形の 3 つの頂点からそれぞれの対辺に引いた垂線は 1 点で交わる点 図はなんとか書けそうなのですが解き方が解りませんので、ご指摘宜しくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 受験生時代に解答してくださった皆さんありがとうござ
受験生時代に解答してくださった皆さんありがとうございました。 現在無事第一志望の大学で学生やってます。 ところで今日の質問は以下のようなものです。 「ある角Aを三等分したうちのひとつの角をαとおく。このときtanαはtanAと有理数のみを用いて表されることを示せ」 とのことです。 加法定理を使ってtanAとtanαの関係式は作ったのですが、そこから進め方がわからずつまっております。 解答の解る方教えてください！ お願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- どのくらい減点されると思いますか？
微分方程式で一般解を求める計算なのですが、 (1+x^2)dy/dx=1+y^2を計算すると答えは y=tan(tan^-1 x+C) (C:定数) ・・・(1) となるのはわかるのですが、本当の正解はこれをさらにtanの加法定理より、 y=x+C/1-Cx (C=tanCと置いた)・・・(2) と参考書にはありました。僕は加法定理をせずに(1)の答えまでしか書きませんでした。定期テストでもしこのミスをしたら、20点のうち何点減点されると思いますか？だいたいでいいので教えてください
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数で三角形の形状と値を求める
△ABCにおいてa=BC b=CA c=AB とする。 ※ tanA/a＾2 = tanB/b＾2 の時、△ABCはどのような三角形か？ ※ b=(a+c)/2 の時、△ABCに対して tanA/2tanC/2 の値は？ の2問です。 ちなみに表記が合っているか不安ですので、読みを書きますと、上は（aの２乗ぶん のタンジェントA）＝（bの２乗ぶん のタンジェントB） 下は b＝【２ぶんの（a+b)】 タンジェント【２分のA】 かける タンジェント【２分のC】となってます。 たぶん因数分解の形まで持ってきてa=b とか 三平方へ持っていくんだとは思うんですが・・・よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- △ＡＢＣの内角をＡＢＣとするとき，以下を説明せよ。
△ＡＢＣの内角をＡＢＣとするとき，以下を説明せよ。 (1)sinＡ＋sinＢ＋sinＣ＝４cos(Ａ/２)cos(Ｂ/２)cos(Ｃ/２) (2)sin(２Ａ)＋sin（２Ｂ)＋sin(２Ｃ)＝４sinＡsinＢsinＣ (3)tanＡ＋tanＢ＋tanＣ＝tanＡtanＢtanＣ (1)ですが， sinＡ＋sinＢ＋sinＣ ＝sinＡ＋sinＢ＋sin(π－(Ａ+Ｂ)) ＝sinＡ＋sinＢ＋sin(Ａ+Ｂ) ＝sinＡ＋sinＢ＋sinＡcosＢ＋cosＡsinＢ ＝sinＡ(1＋cosＢ)＋sinＢ(1＋cosＡ) ＝4sin(A/2)cos(A/2)cos^2(B/2)＋4sin(B/2)cos(B/2)cos^2(A/2) ＝4cos(A/2)cos(B/2)(sin(A/2)cos(B/2)＋cos(A/2)sin(B/2)) ＝4cos(A/2)cos(B/2)sin((A+B)/2) ＝4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2). のようなことを調べたのですが， sinＡ＋sinＢ＋sin(π－(Ａ+Ｂ)) ＝sinＡ＋sinＢ＋sin(Ａ+Ｂ) のところがどうしてそうなるのか分かりません。教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の宿題です。余弦定理を図形的に解釈する問題です。
まず、余弦定理を図形的に解釈する前提として、図形を説明します。 それは、三平方の定理の証明に使われる図形です。三角形の各辺に、正方形があります。その各辺の二乗と各正方形が一致する図形です。 その図形を使って、以下の問題に答えなければなりません。 以下のc2等の表記はｃ二乗のことを表します。 問題「余弦定理は、ｃ2－（a2+b2）＝－2abcosC である。つまり、正方形a2の面積と正方形b2の面積の和と、正方形ｃ2との差が、－2abcosCであるといえる。では、Cが鈍角である場合、－2abcosC を指す面積を斜線で記せ。」というものです。 字ズラのみで分かりにくいと思いますが、分かる方お教え下さい。今学期の期末にでるみたいで、頑張って理解するので、お教え下さい。 一応、参考になるかと思い、図形の参考ページのURLをのせておきました。勝手にアップしてしまい申し訳ないですが、ご理解下さい。 http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/cosine.htm 上記のページの解説方法は、鋭角の場合で、鈍角の場合はどうなるのか分かりませんでした。また、もう少し詳しく説明して頂けると理解できると思うのですが。分かる方お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 図形の問題
直方体ABCD－EFGHがあり、 AB=3√10、AD＝3√6、ＡＥ=√10である。 （1）AC＝アイ、CH＝ウエ、AH＝オ、 cos∠CAH＝カ/キク であり、三角形ACHの面積は ケコ√サ である。 （2）線分AC上にAI＝４となる点Ｉをとり、 ３点C、H、Iを通る円と線分AHの交点をJとすると、AJ＝ シ である。 また、四角形CHJIの面積は スセ√ソ/タ である。 さらに、四角錐D-CHJIの体積は、直方体ABCD-EFGHの体積の 1/チ倍 である。 この問題の解答をお願いします。 ちなみに、三平方の定理から、AC=12、CH=10、AH=8 cos∠CAH=9/16、ACHの面積=15√7 までは求めました。 （シ=6、スセ√ソ/タ=45√7/4、1/チ=1/8 が答えになるそうです。）
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
まことにありがとうございます。 おっしゃる方法でただしいと思います。