ＺＦＣ集合論(公理的集合論)について．

質問

ＺＦＣ集合論の問題をやっています。
集合論はこれまでにまったく習っておらず参考書などで調べながら自分なりに考えてみても混乱するばかりでわかりませんでした．
集合論て難しいですね(^^;)

問題なのですが，
「Ａ＝｛ｘ｜＃ｘ＝１｝はＺＦＣ集合論の意味での集合になるかどうか調べよ」です．

初心者の私でもわかるような解説がありましたら教えてください．

回答No.5

ordinal · ベストアンサー

まだ少々混乱されているようですので、補足いたします。

(1) A を集合と仮定すると、合併の公理により UA も集合である。

(2) x を任意の集合とします。このとき X={x} は一つの要素からなる集合なので、X ∈ A となります。

(3) ここでもちろん x ∈ X なので x ∈ X ∈ A となり、たしかに「ある X が存在し X ∈ A かつ x ∈ X」が成り立ちます。従って合併集合の定義により x ∈ UA です。

(4) x は任意の集合だったので UA は任意の集合を要素とすることになります。任意の集合を要素とする集合は存在しないので、この事実は (1) に反します。従って A は集合ではありません。

(補足の補足)

ラッセルの逆理により R={x : x ∈ x ではない} は集合となりません。もしすべての集合からなる集合 V が存在すると仮定すると、内包公理により R={x : x ∈V かつ x ∈ x ではない} となり R も集合になり矛盾です。

(蛇足) 集合論の証明が難しく苦手ということですが、こういう考え方は最初は難しいものです。一月くらいこのようなことばかり考えてると慣れてきますよ。解析学のεδ論法みたいなもんです。そして (恐らく若い方と思いますが) 「形式的にものごとを考える」ことに慣れるのは一生の財産になります。これにこりずにさらに勉強を進めて頂けるとうれしいです。

お礼

丁寧なご説明ありがとうございます。私でもなんとなくですがわかりました。
今後も勉強していきたいと思います。

回答No.4

ordinal

勉強始めは UA の意味が存外分かりにくいので捕捉します。

(合併の公理) A を集合とするとき UA = {x: A の要素 X が存在して
x は X の要素} も集合である。

前の例ですと x を任意の集合としたとき X={x} は要素が一つしかないので A の要素であり、UA の定義と x が X の要素であることにより x は UA の要素になるということです。蛇足でしたらまことに申しわけございません。

補足

回答ありがとうございます。
素人なりに解釈したのですが、「合併の公理」を適用すると、
(1)Aを集合とすると、Aの要素であるXが存在する。またｘはXの要素である。
↓
(2)＃ｘ＝１であるのでXは要素が1つしかない。(?)
↓
(3)Xは要素が1つしかないのでXはAの要素である。
↓
(4)UA(Aの要素の要素からなる集合)はｘを要素とする。
↓
(5)が、ラッセルの逆理「すべての集合からなる「集合」を作ることは矛盾する」のでAは集合ではない。
のような感じでしょうかねぇ・・・
どうでしょうか？
集合の証明は難しいですね。苦手です・・・

回答No.3

ordinal

記号の意味を素直に考えると A は集合になりません。恐らくすべての集合からなる「集合」を作ることは不可能であることはご存知であると思います。例えばラッセルの逆理に内包公理を適用すれば良いのです。

もし A が集合であれば UA はすべての集合を要素とするので矛盾です。
U は合併 (union) の記号と思ってください。

実際 x の任意の集合とします。このとき X={x} は A の要素です。従って
x は UA の要素となります。従って UA はすべての集合を要素とすることになり矛盾です。

回答No.2

arrysthmia

「＃」とか「＝」とか「１」とかは、漢字のヘンやツクリみたいなもので、
「＃ｘ＝１」を、まとめてひとつの記号とみなせばよいのですね。
論理式・数式ではなく、情緒的な表現として「ｘの元は１個」を表していると。
「＃Ａ＝＃Ｂ」を「ＡからＢへの全単射が存在する」で定義するのなら、
そういうやり方をしていることになります。
そう言えば、「Ａ＝｛ｘ｜…｝」の「＝」も、
最初からＡは集合だという前提でなければ、ＺＦＣの中では定義されていません。
これも、「｛ｘ｜＃ｘ＝１｝は集合か。答案上、｛ｘ｜＃ｘ＝１｝のことを
別名でＡと呼んでもよい。」という意味の情緒的表現と見れば、筋が通ります。

さて、「ｘの元は１個」を形式的に表現しなくては、話が始まりません。
「（ｙ∈ｘ かつ ｚ∈ｘ）ならば ｙ＝ｚ」としては、どうでしょう。
こうすると、｛ｘ｜＃ｘ＝１｝が集合か否かは、置換公理そのもののようですが。

補足

丁寧な説明ありがとうございます。
定義としてはおっしゃる通り、Aは集合であり、「＃ｘ＝１」は
「ｘの元は１個である」と言うarrysthmiaさんの「情緒的表現」でこの問題の場合正しいと思います。

根本的な事なのですが、初心者でして答案に記す「形式的な表現」がまだ身についていません(^^;)
申し訳ないのですが、置換公理「（ｙ∈ｘ かつ ｚ∈ｘ）ならば ｙ＝ｚ」をこの問題に当てはめた際の模範解答的なものを示してもらえないでしょうかm(__)m

問題が「調べよ」となっていますので、それを基に他の８個の公理についても確認を行う方が良さそうなので自分で頑張ってみようと思います．．．

どうかお願いします。

回答No.1

arrysthmia

まず、ＺＦＣ公理系の上で＃を定義しないと、
問題の意味が定まらない。

補足

回答ありがとうございます．
説明不足，申し訳ないです．

＃についてですが，＃Ａ＝＃Ｂの場合「ＡとＢの間に一対一対応がある(濃度が等しい)」，つまり「ＡからＢへの全単射が存在する」ということは資料に記載されていました．
しかし，この問題の場合，ｘにのみ＃が付いているので「ｘの濃度が１である」ということでいいのでしょうか？