定積分の問題です

質問

次の極限値を求めよ。
(1)lim(1+2+3+……+n)^5/(1+2^4+3^4+……+n^4)^2
n→∞

(2)lim1/n n(←小さい字)√(3n+1)(3n+2)…(4n)
n→∞

(3)　 1 n-1
　lim∫ Σx^2n+k dx
0 k=0

上のような問題なのですがさっぱりわからなくて困っています。
詳しい解説をつけてくださると助かります。
よろしくお願いします。

回答No.4

kumipapa

間違えちゃったらなんだか気が引けちゃって・・・

(2)
1/n乗根だと仮定します。即ち求めるべきは、
lim[n→∞] (1/n) { (3n+1) (3n+2) (3n+3) .... (4n) }^(1/n)
いいですか？

Tn = (1/n) { (3n+1) (3n+2) (3n+3) .... (4n) }^(1/n)
とおくと 1/n = {(1/n)^(1/n)}^n なので
Tn = { ((3n+1)/n) ((3n+2)/n) ((3n+3)/n) .... ((4n)/n) }^(1/n)
ここで、
log(Tn) = (1/n) { log((3n+1)/n) + log((3n+2)/n) + ... + log((3n + n)/n) }
　　　　= Σ[k=1,n] (1/n) log(3 + (k/n))

lim[n→∞] log(Tn) = ∫[3→4] log(x) dx
　　　　　　　　　　= 4 log(4) - 3 log(3) - 1
∴
Tn → e^(4 log(4) - 3 log(3) - 1) = 2^8 / ((3^3) e)
およそ 3.488 に収束します。

回答No.3

kumipapa

#2 訂正です。
＞　n乗根ならば 7 / 2 に収束するようです。
は誤りでした。すみません。

まずは、式を確認して、ご自分で挑戦してみてください。
どうしてもお分かりにならなければ、式を明確にした上で、再度ご質問願います。

回答No.2

kumipapa

「定積分の問題」ならば、定積分の形に持ち込めばよいのです。

(1) lim[n→∞] (1 + 2 + 3 + ... + n)^5 / (1 + 2^4 + 3^4 + .... + n^4)^2
例えば、分子と分母をそれぞれ n^10 で割って、極限を考えます。
分子 / n^10 の n→∞ を考えると、
分子 / n^10 = { 1/(n^2) + 2/(n^2) + 3/(n^2) + .... + n/(n^2) }^5
　　　　　= { Σ[i=1,n] (i/n) (1/n) }^5
　　　　　→ { ∫[0→1] x dx }^5 = (1/2)^5
分母 / n^10 = (1^4 / n^5 + 2^4 / n^4 + 3^4 / n^5 + .... + n^4 / n^5 } ^ 2
　　　　　= { Σ[i=1,n] (i/n)^4 (1/n) }^2
　　　　　→ { ∫[0→1] x^4 dx }^2 = (1/5)^2
∴　lim[n→∞] (1 + 2 + 3 + ... + n)^5 / (1 + 2^4 + 3^4 + .... + n^4)^2 = (1/2)^5 / (1/5)^2 = 25 /32

(2)　lim 1/n n(←小さい字)√(3n+1)(3n+2)…(4n)
申し訳ありませんが、問題が意味不明です。小さい字のn というのは、前のn にかかっているのか（つまり 1/ n^n なのか）、それとも後ろの √ にかかっているのか（つまり n 乗根の意味なのか）、それともそれ以外なのかが不明です。1/n^n ならば 0 に収束、n乗根ならば 7 / 2 に収束するようです。(1), (3) を参考にして頂いて、ご自分で解いてみて下さい。なお、今後も質問されるなら、式ぐらいは誰でも分かるようにちゃんとしてください。

(3)
1 n-1
　lim∫ Σx^2n+k dx
0 k=0
limは n→∞ ですよね。また、x^2n + k は (x^2n) + k に見えますが x^(2n+k) ですよね？ くどいようですが、式ぐらい誰でも同じ解釈になるようにきちんと質問してください。
まず積分を解いて、
∫[0→1] {Σ[k=0,n-1] x^(2n+k)} dx
= 1/(2n+1) + 1/(2n+2) + 1/(2n+3) + .... +1/(3n)
∴
lim[n→∞] ∫[0,1] Σ[k=0,n-1] x^(2n+k) dx
= lim[n→∞] Σ[k=1,n] 1 / (2n + k)
= lim[n→∞] Σ[k=1,n] (1 / (2 + (k/n)) (1/n)
= ∫[2→3] 1/x dx
= log(3) - log(2)　（ = log(3/2)　ただし、log(x)は自然対数）

回答No.1

nious

(1)は、Σ[k=1～n]k^4=n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)/30 を使います。

=lim[n→∞](30^2/2^5)*{n(n+1)}^5/{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}^2
=lim[n→∞](30^2/2^5)*{1+(1/n)}^3/{(2+(1/n))(3+(3/n)-(1/n^2))}^2=25/32