数列

質問

n 2
ΣN
n=1

を証明？したいのですがやり方がよくわからなくなりました(>_<)
1／6ｎ(n＋１)(2n＋1)
以外で何かありますかね！？

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

こんにちは。
Σk^2(kは１からｎまで）=n/6(n+1)(2n+1)
を証明します。

(k+1)^3-k-3=3k^2+3k+1
という恒等式をつかいます。この恒等式のｋに、１，２，３、・・・ｎまでを
順番に代入していきましょう。

k=1 2^3-1^3=3*1^2+3*1+1
k=2 3^3-2^3=3*2^2+3*2+1
k=3 4^3-3^3=3*3^2+3*3+1

・・・・・・・・・

k=n (n+1)^3-n^3=3*n^2+3*n+1
------------------------------------これらを上から順番に足していくと

左辺は(n+1)^3-1^3
右辺は3Σk^2(ｋは１からｎまで)+3Σk(ｋは１からｎまで）＋ｎ
となるので、

(n+1)^3-1^3=3Σk^2(ｋは１からｎまで)+3Σk(ｋは１からｎまで）＋ｎ
3Σk^2(ｋは１からｎまで)=(n+1)^3-1-3Σk(ｋは１からｎまで)-n
=n^3+3n^2+3n-3Σk(ｋは１からｎまで)-n
=n/2{2n^2+6n+6-3n-3-2}
=n/2(n+1)(2n+1)
両辺を３で割ると
Σk^2(ｋは１からｎまで)=n/6(n+1)(2n+1)
となるので、式は証明されました。

こんな感じでいかがでしょうか？？

回答No.5

kony0

よくこの公式を導くのに、どこからともなく
(k+1)^3-k^3 = 3k^2 + 3k + 1
という式が現れて、これをk=1,2,...,nと足しあげるなんていうのが「平然と」書かれますよね？
なんでいきなりこんなものが考えられるのでしょうか？という疑問を私も抱いたことがあります。

私的解釈としては、きっと「階差数列を考えると次数が１落ちる」という事実を逆転して発想したのではないかなぁと考えます。（いや、あくまで私の個人的な考えです）
つまり、2次の項を考えるのに「3次の数列の階差として2次の項を捉える」という発想です。
事実、階差を利用するからこそ、k=1,2,...,nと足しあげたときに、途中の項がキャンセルされるわけですよね？

まぁ結局は「昔の偉い人がこれを思いついた」にすぎないんですが。(笑)

回答No.4

weasel

１＾２＋２＾２＋・・・＋ｎ＾２＝1/6n(n+1)(2n+1)・・・（＊）
を証明する。
　ｎ
（Σｋ＝1/2n(n+1)は自明とする）
ｋ＝１
数学的帰納法を用いると
n=1のとき
左辺＝１
右辺＝1/6・1(1+1)(2・1+1)
　　＝１
よってn=1の時（＊）は成り立つ。

ｎ＝ｋ（ｋ≧１）のとき（＊）が成り立つとすると
n＝ｋ＋１の時は
左辺＝１＾２＋２＾２＋・・・＋ｋ＾２＋（ｋ＋１）＾２
ｎ＝ｋの時（＊）は成り立つので
　　＝1/6k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2
　 ＝1/6(2k^3+9k^2+13k+6)

右辺＝1/6(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)
　　＝1/6(k+1)(k+2)(2k+3)
　　＝1/6(2k^3+9k^2+13k+6)
左辺＝右辺
つまりｎ＝ｋのとき成り立つならn＝ｋ＋１の時も成り立つ

以上より全てのｎ（ｎ≧１）で成り立つ。

質問なんですが(k+1)^3-k-3=3k^2+3k+1という恒等式は
どこから導き出すのですか？

回答No.3

oshiete_goo

#1ですがお詫びと訂正です.

＞2)(k+1)^3－k^3＝3k^2+3k+1 の和をk=1,2,・・・,n-1　までとる(n≧２)．あとでk＝1での成立は確認．(右辺のΣkなどは既知とする．)

と書きましたが, Σ_{k=1 to n}k^2 を求めるので，正しくは#2さんのご回答通り, 和はk=1,2,・・・,n まで素直にとってそのまま整理すればOKでした.
失礼いたしました. 上記の部分は訂正させて下さい.

回答No.1

oshiete_goo

元の問題がはっきりしないのですが,
多分 Σ_{k=1 to n}k^2 [＝(1/6)n(n+1)(2n+1)]を求めよとでもいう話なのでしょう.
1)数学的帰納法
2)(k+1)^3－k^3＝3k^2+3k+1 の和をk=1,2,・・・,n-1　までとる(n≧２)．あとでk＝1での成立は確認．(右辺のΣkなどは既知とする．)

他の方がもっと知恵を授けて下さるでしょう．

お礼

みなさん、ご丁寧に答えて頂きありがとうございます★助かりますー！
机の上で、もう一度計算してみます。