４次元の超立体の検証

質問

よろしくお願いします。

４次元空間における、超立体についてよく知りたいのですが、捉え方がまだよくわかりません。
私の読んだ某雑誌では、

０次元の点は端がないので→0
１次元の線は、端が２つあるので→2
２次元の正方形は、端（辺）が４つあるので→4
３次元の立方体は、端（面）が６つあるので→6

ここから推測すると、
４次元の超立方体は、８つの端（立方体）を持つ形。→8

であろう、という推測が書いてありました。
「端」の概念はその形を切った時の断面がどのようなものかを考える、という概念でもありますから、次元というものの定義から、私にもわかる基準の選び方です。
ただ、このあと、
「３次元までは増え方が等差数列である」と言ってるだけであって、一般化するには不安が残るようにも感じます。
もし8じゃなかったら、どうするの？と思ってしまいます。
本当に超立方体がそのような８つの立方体で囲まれたものであるとして、現実にそれを検証する方法はあるでしょうか？

回答No.5

tomtom_

小学生でも分かる方法として，オイラーの多面体定理で確認する方法があります．
3次元なら，穴が開いていない任意の多面体（＝立方体だろうが単体（三次元なら三角錐）だろうが何でも良いです）に対し，

頂点の数-辺の数＋面の数=2

になります．
これを質問者さんの計算なさった5次元にあてはめると，

32-80+80-40+10=2

となって，正しいことが分かります．

元々の御質問の，4次元の場合に頂点の数が8個であっているのか？というのも同様に，4次元超立方体なら

頂点の数-辺の数+面の数-体積の数=0

が成り立てば良いのですが，実際に

16-32+24-8=0

となり，

> ４次元の超立方体は、８つの端（立方体）を持つ形。→8

というのも正しいことが分かります．

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%9D%A2%E4%BD%93

お礼

ご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなってしまい申し訳ありません。
あまり賢くないもので、理解に時間がかかってしまい、申し訳なく思います。

オイラーの多面体定理を使うと、なぜ３次元で多面体が５つしかないのか？というのが、ようやく導くことができました。

それはそれで良かったのですが、オイラーの多面体定理は、そもそもどのように導き出されたものなのでしょうか？
なぜ次元数が増えていっても成り立つと証明できるのですか？

ウィキで調べると、他にも変化形の定理が存在するようですし、でも、どこからそんな結論に至るのか、自分で導くことはできませんでした。

入り口だけでも教えて頂けると助かります。