「群G、あるa∈Gにおいて、aG⊇G」は成り立つか？

質問

お世話になります。よろしくお願いします。

「群G、あるa∈Gにおいて、aG⊇G」が成り立つことの証明を知りたいのですが。

Gが有限群の時は簡約律（ag＝ag'ならg=g'）から元の個数が等しいので
aG＝Gになるというのが分かります。（多分）

問題は群Gの元の数が無限の時です。
一般的に
「群G、あるa∈Gにおいて、aG⊇G」は成り立つのでしょうか？

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ここからは補足で、
この問題の出所なのですが、

「Hを群Gの部分群、a,b∈Gで
b∈aH→aH＝bH」の証明です。

(証明)
b＝ah(h∈H)とおける。
bH＝ahH＝aH(←ココでhH＝Hとしています。)

となっています。（親切な代数学演習　現代数学社　p174）

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

有限とか無限とか関係なく，もうちょっと群の定義を
理解したほうがいいです．

Gの任意の元aに対して
aG=G は当然成り立ちます
だって・・「はみ出したら演算じゃない」でしょう？

まじめに証明するなら
aGの任意の元は ag とかけ，これはGの元
よって G⊇aG
Gの任意の元 g に対して a^{-1}gをとれば
g=a(a^{-1}g)だから（結合律）
gはaGの元．
よって aG⊇G

お礼

早速の御回答どうもありがとうございます。

>g=a(a^{-1}g)だから
全然思い付きませんでした。
恥ずかしながら、全然自分の引き出しにはないやり方でした。
どうもありがとうございます。

>有限とか無限とか関係なく，
本当に考えが明後日の方に進んでました。
こちらで聞いて良かったです。

こうゆう証明までは本に載ってないので、
自力でサラッと思い付けるようでないと、本も全然進みませんね。
（1週間で2ページとか）
もっと精進します。
どうもありがとうございました。

回答No.3

zk43

任意のx∈Gは、x=a(a^(-1)x)と表わされ、a^(-1)x∈Gだから、x∈aG
よって、G⊂aG
逆のaG⊂Gは明らかだから、aG=G
有限か無限で分ける必要はないと思う。
群では必ず逆元があり、逆元を持つ元を全体に掛けても、全体としては
変わらないということです。
環とか体でも、逆元を持つ元（単元）を全体に掛けても、全体としては
変わらない。

お礼

御回答どうもありがとうございます。

実は昨日
「HH=H」というのを勉強しましてこれの利用も考えていたんですが、
全然違いました。(笑)

aG=Gは証明のいろいろな所で使う機会が多そうですね。

>群では必ず逆元があり、逆元を持つ元を全体に掛けても、全体としては変わらないということです。

しっかりマスターします。
どうもありがとうございました。

回答No.2

oldperson

成り立ちます。

aの逆元をa'とすれば、任意のb∈Gに対して
b=aa'b=a(a'b)
a'b∈Gなので
b=a(a'b)∈aG

お礼

御回答どうもありがとうございます。

元の数が有限とか、無限とか頓珍漢な方向で考えてまして
恥ずかしいです。

>b=aa'b
これは思い付きませんでした。
なぜ思い付かなかったのか今考えてます。

aG⊇Gの両辺左からa^(-1)を掛けて
G⊇a^(-1)Gとすれば良かったんでしょうか・・・？

これなら明らかですよね！？

どうもありがとうございました。