境界のある２つの多様体の張り合わせ
- ２つの多様体M1,M2の境界をφで張り合わせた新しい多様体Ｗ＝M1∪M2をつくることができる。
- 定理の証明では、境界の近傍U1,U2を取り、微分同相写像g1,g2を定義し、J1,J2,gによって座標近傍系が入り、M1∪M2が滑らかな境界を持つことが示される。
- 座標近傍系が定義できる理由は、J1,intM1,J2,intM2が開集合を覆うためであり、境界の張り合わせを滑らかにするためには座標近傍系が必要である。
- ベストアンサー
境界のある２つの多様体の張り合わせ
M1,M2：境界のある滑らかな多様体 φ：∂M1→∂M2：微分同相写像 ただし∂M1はM1の境界 が与えられたとき、M1、M2の境界をφで張り合わせて 新しい多様体Ｗ＝M1∪M2をつくることができる。 この定理の証明についての質問です。 まず∂M1、∂M2のカラー近傍U1、U2をとり、 微分同相写像g1、g2をそれぞれ以下のように定義します。 g1：U1→∂M1×(0,1] g2：U2→∂M2×[1,2) またg1、g2はともに境界上で恒等写像であると仮定する。 JiをMiからM1∪M2への包含写像とし g：∂M1×(0,2)→M1∪M2を次のように定める。 g(x,t)＝J1(g1(x,t)) (０＜ｔ≦１) g(x,t)＝J2(g2(φ(x),t)) （１≦ｔ＜２） その後、M1∪M2はJ1(intM1)、J(intM2)、g(∂M1×(0,2))に覆われており、 それぞれの開集合にJ1、J2、gによって座標近傍系が入るため、 M1∪M2は多様体であると書いてあるのですが、どうして上記のことで 境界の張り合わせを滑らかにできることがわかるのでしょうか？ そしてそもそも座標近傍系が定義できる理由がわかりません… どうしてなのか説明していただけないでしょうか？ ちなみに参照した文献はMilnor.J Lectures on the h-Cobordism Theoremです。
- 33550336
- お礼率100% (5/5)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数2
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>Milnor.J Lectures on the h-Cobordism Theoremで この本を読むくらいだから，数学科のすくなくとも3年生以上でしょ？ それなら，もっと考えてみましょう． Milnorの本は扱ってる内容が高度なのに記述が かなり分かりやすくていいのが多いのですよ． ＃characteristic classesなんかも面白い Milnorが一般的に記述してることを もっと具体的な「見える」多様体で図に描いたりしましたか？ 例えば，球面S^2から円板D^1をくり貫いた境界つき多様体を 二個つくって，境界であるS^1どうしをMilnorの記述の通りに 張り合わせてみたり，メビウスの帯でやってみるとか． もっと単純なのだと「二つの線分」を張り合わせてみるとか． 一般論だと，まず M1∪M2 に「自然に位相が入る」のは 理解できてますか？そしてその位相で多様体になることを示すのです． J1(intM1)、J(intM2)、g(∂M1×(0,2))で M1∪M2 が被覆されるのもOKですか？ J1(intM1)、J2(intM2)に座標が入るのは当たり前でしょう？ これは結局M1とM2の内部に過ぎないのです． 問題なのは g(∂M1×(0,2))の点（pとしよう）での座標系だけ． これもカラーの性質を考えれば， pでの近傍はカラーとM1，M2の境界の近傍で表現できます。 pの近傍はM1側とM2側の近傍が合わさった形です． とにかく絵を描いてみればすぐわかります． intM1 ----------------------------- ここらへんがU1 -----------∂M1-------------- ↑ φで境界が微分同相 ↓ -----------∂M2-------------- ここらへんがU2 ---------------------------- intM2 張り合わせると intM1 ------------------------ ここらへんがU1 ------------------------上と下の間がg(∂M1×(0,2)) ここらへんがU2 ------------------------ intM2 こんな感じ．だから，真ん中の線の上の点の近傍は U1とU2にまたがるもので，座標系はそれぞれのものを合わせたもの． 座標変換もそれぞれのものを合わせて考えれば きちんと成立します． このときはずせない条件は「境界同士が微分同相」であること． まじめに式に書くとかなり煩雑になるのはわかるけど きちんと書いてみるとよいでしょう． この本を読もうってくらいだから，直接でてこなくても 多様体の基礎の議論（微分形式，場，埋め込み）や トポロジー（（コ）ホモロジー，ホモトピー，基本群）は 抑えてるでしょうから，そいつらのときと同様に 絵を描いて考えればいいのです． ＃各種の束や被覆空間や層なんかも絵を描けば理解しやすい．
関連するQ&A
- 多様体間の写像が滑らかであることについて
f：R→R を f(x)=x^(1/3) （xの3乗根） と定めます．このとき f は同相写像だが滑らかではないということを， 多様体間の写像が滑らかであることの定義に従って示したいのですが， それがよく分からないので教えてください． f は全単射かつ連続で，f^(-1)も連続であることは言えたので，f が同相写像であることは示せました． 問題は f が滑らかではないということです． Rを多様体としてみて，この多様体間の写像 f:R→R が滑らかであるとは， ------------------------------- 任意の x∈R と，x∈U, f(x)∈V かつ f(U)⊂Vとなる局所座標(U,φ),(V,ψ)に対して， f の U と V による局所座標表示 ψ・f・φ^(-1) が滑らか． ------------------------------- 今回は滑らかではないことなので，この否定を示せばよいのですよね？ つまり，x∈U, f(x)∈V かつ f(U)⊂V なるどんな局所座標(U,φ),(V,ψ)をとっても， 局所座標表示 ψ・f・φ^(-1) が滑らかにならないような x∈R が存在することを示す． これを示そうと思ったのですが，出来ませんでした． f は 0∈R で微分可能でないので，0が問題の点だとは思うのですが…． ご教授お願いいたします．
- 締切済み
- 数学・算数
- 多様体の問題について
S^2=｛(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=1｝とする。 写像fを f:S^2→R^2 f(x,y,z)=(x,y) で定義する。 問 座標近傍系を用い、fのランクをS^2の各点について調べよ。 多様体について勉強していたのですが、この問題にどのように対処したら良いかわからず困ってます。 何をしたらよいのかヒントをください。よろしくお願いします。 (S^2が無限に微分可能な多様体であることはわかっています。)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 多様体の問題です。
多様体の問題です。 Ｘ，Ｙ：リーマン面 ｆ：Ｘ→Ｙ：正則写像（定値でない） P：Ｘの点 ｆ（P）＝Q とする。 ｆの座標表示が s = t^n (n∈N)となるP,Qでの局所座標表示 ｔ： U_P → ΔP s： V_Q → ΔQ （ΔP,ΔQ：単位開円板） がある。 つまり、リーマン面からリーマン面への正則写像は 局所的には単位開円板の ｎ重写像Δ→Δ： z→z^n と同じ形をしている。 特にｆは開写像。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ これの証明を勉強していて、 分からないところがあって質問させてもらいました。 以下の(*)(**)(***)がその箇所です。 (*)： 仮定のどの部分を使っているのでしょうか？ (**)： テイラー展開したのですが、 これはT^nの項でくくれといっているのでしょうか？ （***）： ここはさっぱり分かりません…。 「C内の半平面」というのは リーマン面Ｙの局所座標近傍Ｃ_zのことですか？ この部分から前に進めなくて唸っているので、 どなたかよろしくお願いします。 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 【証明】 P，Qでの局所座標T,Sをとる。 fはＰの近傍で S=f_T(T), f_T(0)=0 と正則関数表示される。 仮定と正則写像の一致の定理より、 f_T(0)は恒等的に0ではないことが分かる。 (*) f_T(T)をテイラー級数展開し、 係数が零でない最初の項でくくる。 この操作により、SはTの関数として、 S=f_T(T)=T^n*U(T)、 U(0)≠0 (**) の形にかける。 『|T|が十分小さければ、 U(T)の値は全てU(0)を含み、0を含まない (***) Ｃ内の適当な半平面に含まれる。 従って、U(T)のｎ乗根の偏角を一価かつ連続に指定することができる。 こうして、U(T)^(1/n)の１つを正則かつ一価に定めることができる』
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 偏微分方程式の初期値について
Ut-Uxx=0 (0<x<m,t>0 U(0,x)=φ(x) (0≦x≦m) U(0,x)=U(0,m) ∂U/∂x(0,x)=∂U/∂x(0,m) 上のような熱方程式の周期境界値問題を考えています。 このときφ(x)がx=0,x=mの近傍で0 という条件ですと、物理現象的には棒の両端は温度が０という事らしいのですが、引っかかっていることがあります。 φ(x)がx=0,x=mで0ではいけなくて何故「近傍で0」でないと棒の両端は温度が０という 物理現象にならないのでしょうか？ 「近傍で０」とはこの問題のどこに効いているのでしょうか？ 偏微分方程式初心者です。 どなたか説明、解説をよろしくお願い致します・・・。
- 締切済み
- 数学・算数
- 自由端における境界条件
弦の振動について、両端が自由端というものを考えます。 このとき座標xにおける変位をu(x,t)として表すとします。 弦の長さをLとすれば、自由端であるので、境界条件よりuをxで偏微分したものにx=0,Lを代入した場合は0となりますよね。 これは応力が0ということから導かれると思うのですが、なぜ自由端の場合、x=0,Lでの応力が0になるのですか？ 詳しく教えていただけないでしょうか。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 多様体の問題です。
多様体の問題です。 S=｛x∈R^2|∥x∥=1｝ = {z∈C| |z|=1} U0={e^iθ | 0＜θ＜2π} U1={e^iθ | ―π＜θ＜π} ψ0:U0→(0,2π),ψ0(e^iθ) =θ ψ1:U1→(―π,π),ψ1(e^iθ) =θ (U0,ψ0),(U1,ψ1) Sの座標近傍 ⇒(1)u=｛(U0,ψ0),(U1,ψ1)}:SのC^∞級座標近傍系 (2)v=｛(Ui^±,ψi^±)｝i=1、2 座標変換 ψ1^+・ψ0^-1,ψ0・(ψ1^+)^-1 がC^∞級である事を証明せよ。 ですわかる方いましたらよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
丁寧な回答ありがとうございます。 「具体的に見える多様体で実践する」のはいい方法ですね。 一度やってみます。 この回答を参考にしてもう少しじっくり考えてみます。