- ベストアンサー
超幾何関数の初等関数表示について
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
y=F(a,a+1/2;2a;z)が満たす微分方程式は z(1-z)y'' + (2a-(2a+3/2)z)y' - a(a+1/2)y = 0 になります。 y = 2^(2a-1)*(1-z)^(-1/2)*(1+√(1-z))^(1-2a) が上の微分方程式を満たすことを示し、解の一意性から F(a,a+1/2;2a;z)=2^(2a-1)*(1-z)^(-1/2)*(1+√(1-z))^(1-2a) と結論するのが簡単なのではないでしょうか。数式処理で (1-z)^(-1/2)*(1+√(1-z))^(1-2a) が上の微分方程式を満たすことは確認しました。
その他の回答 (3)
- grothendieck
- ベストアンサー率62% (328/524)
g(z)=(1-z)^(-1/2) h(z)=(1+√(1-z))^(1-2a) f(z)=g(z)*h(z) として積の微分の公式 d^n f(z)/dz^n = ΣnCk( d^n g(z)/dz^n )( d^(n-k) h(z)/dz^(n-k) ) を用いテイラー展開すれば良いのではないでしょうか。
- grothendieck
- ベストアンサー率62% (328/524)
Abramowitz and Stegun"Handbook of Mathematical Functions"を調べたところ、ご質問のような公式は載っていませんでした。また x=0 を代入すると 左辺=(3/2)^(1-2a) 右辺=F(a, a - 1/2; 2a; 0) = 1 となって一致しません。どこか間違っていないでしょうか。よく似た公式として、上記の本には F(a,a+1/2;2a;z)=2^(2a-1)*(1-z)^(-1/2)*(1+√(1-z))^(1-2a) が載っています。右辺のテイラー展開を3次まで数式処理ソフトで計算してみると 1+(2*a+1)*z/4+(2*a^2+5*a+3)*z^2/16+(4*a^3+24*a^2+47*a+30)z^3/192 左辺のガウス級数は F(a,a+1/2;2a;z)=1+(2a+1)z/4+(a+1)(2a+3)z^2/16+(a+2)(2a+3)(2a+5)z^3/192 でこれは一致しています。
補足
すいません、質問する立場にありながら普通に間違えていました 証明したいのはまさに F(a,a+1/2;2a;z)=2^(2a-1)*(1-z)^(-1/2)*(1+√(1-z))^(1-2a) です。
- stomachman
- ベストアンサー率57% (1014/1775)
F(α, β, γ; x) = Σf(α, β, γ; k)(x^k) （Σはk=0～∞） という格好に書いたときの右辺が収束すれば、超幾何関数が多項式展開できたことになる。ご承知の通り、実際これは可能で、右辺は超幾何級数です。で、ご質問の式とご主張がもし正しいなら、ご質問にある式の左辺の多項式展開が一意的でない、ということになっちゃう。そりゃ明らかに変ですね。だから、きっと何か間違えたんでしょう。
関連するQ&A
- 次のガウスの超幾何級数を初等関数で表わしたい
実務で次のガウスの超幾何級数が出てきましたが、これを初等関数でシンプルに表したいのですが、どなたか教えてください。 2F1[1/2,1/2,1;(tanx)^2]および2F1[1/2,1/2,1;1/(tanx)^2]
- ベストアンサー
- 数学・算数
- デルタ関数に関する証明
ガウス型関数によるδ関数表示： √（１/２πε）exp(-x^2/2ε) のε→0の極限をとったものがδ(x) となることを用いて、 δ(ｆ(x))＝Σ δ(x－α)/｜ｆ´（α）｜ となることを示すのですがそれがよく分かりません。 ここでαはｆ(x)＝0を満たすゼロ点で Σはそのαがあるだけ足し合わせているものです。 見にくくてすいません。 テイラー展開か何かを使うらしいのです。 よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- テイラー展開の幾何学的意味について
テイラー展開についてどなたかご指導ください。 ある関数f(x)を多項式に当てはめてその係数を解析的に求める証明は理解できるのですが、 テイラー展開の幾何学的意味がよくわかりません。質問は以下のとおりです。 x軸上で、ある点aからh進んだ点をxとして、aからxの区間を考えます。 f(x)は以下のようにaにおける勾配f'(a)を使って以下のように近似できるのは理解できます。 f(x) = f(a) + f'(a)*h ・・・（１） 次に、f'(a)を以下のようにf'(a)とf'(x)の平均に置き換えれば、近似精度がよくなるのも理解できます。 f'(a) → (f'(a)+f'(x))/2 ・・・（２） 式（２）のf'(x)を以下のように近似して f'(x) = f'(a) + f''(a)*h ・・・（３） 式（２）を書き直すと f'(a) → f'(a) + f''(a)*h/2 ・・・（４） となることもわかります。 ここで式（１）のf'(a)を式（４）のものに置き換えると f(x) = f(a) + f'(a)*h + f''(a)*h*h/2 ・・・（５） が得られ、テイラー展開の公式と一致しますが、これ以降がわかりません。 式（２）、式（３）、式（４）と同様に f''(a) → (f''(a)+f''(x))/2 ・・・（６） f''(x) = f''(a) + f'''(a)*h ・・・（７） f''(a) → f''(a) + f'''(a)*h/2 ・・・（８） として式（５）のf''(a)を式（８）のものに置き換えると f(x) = f(a) + f'(a)*h + f''(a)*h*h/2 + f'''(a)*h*h*h/4 ・・・（９） となり最後の項が公式と一致しません。 公式と一致させるためには式（６）を f''(a) → (2*f''(a)+f''(x))/3 ・・・（１０） にしなければいけません。これが引っかかっているところで、なぜ単純な平均ではなくて ２：１の重み付けをしなければならないのか理解できません。 これ以降 f'''(a) → (3*f'''(a)+f'''(x))/4 ・・・（１０） のように、xよりもaでの微係数に大きな重みを付けて平均することになると思います。 この重みが幾何学的に何を意味しているのかどなたか教えていただけないでしょうか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分困難な関数を超幾何関数で表す方法
以下の積分を不完全ベータ関数を使用し超幾何関数に変換してで表すことができるようです。 導き出す手順を教えてください。 ∫{ (x-b)^(a-1)}/x dx a, b は実数です。 (参考) http://okwave.jp/qa/q8067505.html (解) 自力で計算できなかったので、Wolfram Matheaticaのサイトで積分したところ答えが { (x-b)^a/ab }{ 1 - (1-b/x)^-a 2F1(-a, -a; 1-a; b/x) } とガウスの超幾何級数を用いて算出されました。 導き方がわかりません。
- 締切済み
- 数学・算数
- 式の級数展開
式の級数展開 時弘哲治「工学における特殊関数」p102において 2zeta / (zeta * zeta -1)のzeta=0まわりの展開は -2zeta - 2 (zetaの3乗) とありました。 自分で展開をしてみようと思い f(x) = sigma_{k=0}^{n} {f^k(a) * (x-a)^k}, x=0のテーラー展開をしたのですが、 得られたのは = -2 -2 + ... でした。 展開の式はテーラー展開でなく、ローラン展開をすることになるのでしょうか？ -2zeta - 2 (zetaの3乗) を得るための式変形のヒントをお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 関数の複素共役と元の関数の関係
関数ｆ（ｘ）において、その複素共役をｆ*（ｘ） とすると、 ｆ（ｘ）＝ｆ*（ｘ） の場合、ｆ（ｘ）は、実関数に限ると思いますが、 証明の方法がわかりません。 テーラ展開できる場合は、僕でも証明できますが、 もっと、一般的には、どうするのでしょうか？ それから、ｆ（ｘ）＝-ｆ*（ｘ） の場合、 （例えば、ｆ（ｘ）＝ｉ x ） こういう関係が成り立つ関数を、どう呼んだらいいでしょうか？ 反エルミート関数？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テイラー展開とローラン展開
テイラー展開とローラン展開の問題の解き方がよく分かりません。どちらにもマクローリン展開を用いるようなのですが・・・。例えば、z=-iを中心に関数f(z)=1/zをテイラー展開及びローラン展開するにはどうすれば良いのでしょうか？式をできるだけ詳しく説明して頂けると助かります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 前に関数質問の続編です。
前に関数質問の続編です。 関数ｆ（ｘ）＝１/(１-３ｘ)に関する次の（１）と（２）に答えよ。 （１）各自然数ｎに対して、関数ｆ（ｘ）の第ｎ次関数ｆ（ｎ）（ｘ）を求めよ。 （２）関数ｆ（ｘ）のｘ＝０におけるテイラー展開（よって、マクローリン展開）を求めよ。 （１）f(x)=∫1/(1-3x)=?(1－3x)?^(-1) f’(x)= (1^' (1-3x)-1?(1-3x)?^')/(1-3x)^2 =3/(1-3x)^2 f’’(x)= (3^' (1-3x)^2-3?(1-3x)?^2')/(1-3x)^4 =18/(1-3x)^4 f’’の計算が間違っているような気がするのですがどうでしょうか？ ここからの式の計算がよくわからないのでだれかヒントをください。 （２）f(x)=f(0)+f'(0)/(1！)x+・・・ =f^(k)(x)= でしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 剰余項の収束、ｎ次導関数、どっちに採点の基準が置かれるか？
ある関数f（x）があって、f（x）のマクローリン展開（x=0におけるテイラー展開）を求めよ、と言われたら、剰余項の収束がきちんと示されているか いないかのところで、ほとんどの点数が決まりますか？ f（x）のn次導関数を導く手順はあまり重視されないですよね？ たとえば、sinxのマクローリン展開を示したい場合、sinxのｎ次導関数sin(x+nπ/2)を、数学的帰納法を使って長ったらしく書いて証明して、テイラーの式に当てはめて正しいマクローリン展開の式が導けたとしても、肝心の剰余項について触れずに終わってしまってる答案は、ほとんど点数がつかないのではないかと思ったのですが、どうなんでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
なるほど！おもしろい回答ありがとうございました