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加法定理の問題
「cos20°×cos40°×cos80°の値を求めよ。」という問題を今しているんですけど。 加法定理を使って考えているんですけど、先の前2つ「cos20°×cos40°」の値を求めたんですけど、「√(3)×cos10°」ここまでしかわかりませんでした。この後の解説お願いします
- hhh1989012
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- shoo0720
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まず、cos20°= A と置換します。 ここで、三倍角の公式より cos60°= 4A^3 - 3A が成り立ちます。cos60°が1/2であることから、 A^3 - 3/4A = 1/8 ----------(1) と整理できます。 また、加法定理より、 cos(60+20)°= cos60°cos20°- sin60°sin20° cos(60-20)°= cos60°cos20°+ sin60°sin20° が成り立ちます。sin20°>0 に注意して cos80°= A/2 - √{3(1-A^2)} /2 cos40°= A/2 + √{3(1-A^2)} /2 となります。よって、 cos20°×cos40°×cos80° = A×[A/2 - √{3(1-A^2)} /2]×[A/2 + √{3(1-A^2)} /2] = A^3 - 3/4A となります。よって、(1)より値は 1/8 となります。
- debut
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積和公式 cosA×cosB={cos(A+B)+cos(A-B)}/2 から cos20°×cos40° =(cos60°+cos20°)/2 =(1/2+cos20°)/2です。 よって、 cos20°×cos40°×cos80° =(cos80°/4)+(cos20°×cos80°)/2 cos20°×cos80°はさらに公式で(cos100°+cos60°)/2 cos100°=cos(180°-80°)=-cos80°であることを考慮して あとは簡単にするのみです。
- 33550336
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積→和の公式を使いましょう。 cosA*cosB=1/2(cos(A+B)+cos(A-B))
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