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数列の問題で

独学で数列を勉強しています。 【1,2,3・・・・・・,n の中で互いに隣接しない相異なる２数の積の和を求めよ。】 という問題で、求める和を、 （１×３＋１×４＋・・・１×n ）+ (２×４＋２×５＋・・・２×n ）＋・・・｛（ｎ－２）×n ｝ とグルーピングするそうです。ここまでは分かります。 次に、 【　k番目は、k｛(k＋2)＋(k＋3)＋......＋n ｝＝ k・(n－k－1)(n＋k＋2)/2　　注：｛　｝の内は等差数列　　】 という部分がありますが、さっぱり理解できません。 なぜ、左辺が右辺になるのでしょうか？

  • colmon
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質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • aquaburry
  • ベストアンサー率57% (20/35)
回答No.1

例えば第２番目の（）の中 ２×４＋２×５＋・・・＋２×ｎ ＝２（４＋５＋・・n） となっていますね。 同様に第k番目は k×（k+2）＋k×（k+3）＋・・・・＋k×ｎ となるのはお分かりでしょうか。第二番目と同じ考え方ですよね。 そこでkでくくって k｛（ｋ+2）+(k+3)＋・・・・n｝ ｛　｝の中は等差数列で初項がk+2、公差１、項数がk+2からnまであるので、n-（k+2)＋１＝n-k-1 従って｛　｝内の和は 和＝1/2｛（k+2)+n｝×（n-k-1）　（等差数列の和＝1/2（初項＋末項）×項数を利用） これより k番目は k×1/2×（k+2+n）×（n-k-1) ＝1/2・k（n+k+2)（n-k-1） となります。

colmon
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 大変よく分かりました！ n-k-1の正体は項数でしたか。 参考書もそこまで書いてくれればいいのに… 助かりました、深謝いたします。

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