無限級数の定理の証明

質問

lim sup{an+1/an}=r が1よりも小さい時、Σ(i=1,∞)aiは収束するという定理ですが、これはan+1(n+1番目ですanに１を足したものではありません）とanの公比の最小上界が１よりも小さいならば無限級数aiは収束するということですよね？
まずΣ(i=1,∞)aiは収束するとだけあるのでどの数に収束するのかわからないのでε-N法は使えなさそうです。部分和とかで証明出来るのでしょうか？supの扱いも良くわかりません。
手順が見当も付きません。どなたかわかる方なるべく詳しくお願いします。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

>等比級数になるのはわかるのですがそれとΣ(i=1,∞)aiは収束するとは違う気がします

等比級数に「なる」なんていってません．
等比級数で「抑えられる」といっています．

大雑把に
十分大きなNをとって，n>Nの状態では
a{n+1}/an < R，0<R<1
となるRをとることができれば
a1 + a2 +・・・+ aN + aN+1 + aN+1 +・・・
< a1 + a2 +・・・+ aN + R aN + R^2 aN + R^3 aN+・・・・

有限の部分（N以下の部分）は収束に無関係，
Nより大きい部分は「公比の絶対値が1未満の等比級数」

あとは「はさみうち」でも有界性でも使って
「級数の定義」を考慮して
穴をきちんと埋めればいいのでしょう

お礼

どうもありがとう御座いました。

回答No.2

kabaokaba

>(1+r)/2はどこから来たのですか？

もう少し考えましょう．
(1+r)/2 は 1 と r の「中点」
実際は中点である必要はなく，1とrの間であれば何でもOK
とにかく「1とrの間の数」を使えば，
有限の部分を除いて「等比級数」で抑えられるということ．

けどそもそも「問題が間違ってる」ので
正しい問題で考え直しましょう(大事な条件がおちてる)．
反例：an=(-1)^n (n=1,2,3,...)
an+1/an = -1 < 1
Σan は収束しない．

補足

すいません。anが０よりも大きいという条件が抜けていました。等比級数になるのはわかるのですがそれとΣ(i=1,∞)aiは収束するとは違う気がします。今公比のsupが１より小さい時にその無限級数の和が収束するという事が証明したいので、anが等比級数になる事とは違う気がします。そこの所もう少し詳しくお願いします。

回答No.1

Tacosan

lim sup a_(n+1)/a_n = r < 1
だから, 十分大きな全ての n に対して
a_(n+1)/a_n < (1+r)/2
とできるんじゃないか?

補足

回答ありがとうございます。
(1+r)/2はどこから来たのですか？
よろしくお願いします。