垂直二等分線の証明

質問

『線分ABの垂直二等分線上の点Pは、2点A,Bから等しい距離であることを証明しなさい
（問題に必要な図をコンパスや定規を使って描きなさい）』という問題なんですが、
親戚の中学二年生にこの問題の解説を求められましたが、
私自身が根っからの文系でやり方をすっかり忘れてしまいました(>_<)

分かりやすい解説を教えていただけたら有り難いです。

回答No.4

Mr_Holland · ベストアンサー

１）先ず、作図で、線分ＡＢと垂直二等分線の交点をＭとしてください。
２）次に、三角形の合同を使って、線分ＡＰ＝線分ＢＰであることを示します。
　△ＡＰＭと△ＢＰＭにおいて、線分ＰＭは共通、∠ＡＭＰ＝∠ＢＭＰ＝∠Ｒ。また、点Ｍは線分ＡＢの垂直二等分線上の点なので、線分ＡＭ＝線分ＢＭ。
　故に、三角形の二辺とその挟む角が等しいので、△ＡＰＭ≡△ＢＰＭ。
　三角形の対応する辺の長さは等しいので、線分ＡＰ＝線分ＢＰ。
３）このことから、点Ｐは２点Ａ、Ｂから等距離にあるといえます。

お礼

回答ありがとうございます<(_ _)>

三角形の合同にすればいいんですね。
参考になりました。
ありがとうございます。

回答No.3

koko_u_

AP = BP を示したいだけですよね。

1. 「垂直二等分線」が何かを思い出す
2. 図を書く。(コンパスなどで正確に書く必要はない)
3. 三角形の合同条件を思い出す

てな感じです。

問題文の注釈にある「（問題に必要な図をコンパスや定規を使って描きなさい）」の一文がよくわかりません。
フリーハンドで適当に書けばいいと思うけど、最近の中学生は違うのかな？

お礼

回答ありがとうございます。

はい。AP=BPを示したいだけです。

注釈の部分の件ですが、
証明問題と図の問題の両方が出題されていたようです。
なので（問題に必要な～）の一文は作図問題の指示の様です。
コンパスを使って書かないといけないけど、分からないと
本人は言っていたので、使わないといけないみたいです。

回答No.2

kumipapa

作図方法はこちらを
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E7%AD%89%E5%88%86%E7%B7%9A

線分ABと、その垂直二等分線との交点を C とします。
そして、垂直二等分線の上に点Ｐがあるのですよね。

△ACP と △BCP が合同であることを言えば、AP = BP 即ち点 P が２点 A, B から等しい距離にあることが証明できますね。
△ACP と △BCP において、
CはABの垂直二等分線とABの交点なので、 AC = BC
∠ACP = ∠BCP = 90°
（△ACP と △BCP で辺CPは共通）
∴ ２辺とその挟む角が等しいので、△ACP ≡ △BCP
∴　AP = BP
ところで、「合同」って習ってるんですよね。そうでなければすみません。

お礼

回答ありがとうございます<(_ _)>

URL参考にさせていただきます。
分かりやすい解説ありがとうございます。
参考にさせていただきます。

合同は既に習っているようです。

回答No.1

noritomo48

点Aと点Bを直線んで結んでください。

この距離の半分以上の大きさになるようにコンパスを広げます。

点Aと点Bにコンパスを置き円を描きます。

すると2点重なり合います。この2点が点Aと点Bの等しい距離となります。この2点を通る直線が垂直二等分線となります。

今度は、コンパスの大きさを変えてみてください。同じように円を書きいれると、二つの円が垂直二等分線上で交わると思います。

↑のことを永遠と繰り返して点を取っていった結果が垂直二等分線の直線となるのです。

お礼

回答ありがとうございます<(_ _)>

こうやってしたら垂直二等分線が作図できるんでしたね！
思い出しました。
これで作図の問題は大丈夫そうです。ありがとうございます。

もうひとつの問題としてこれを等しい距離であることを証明せよ
という問題があるのですが、これに苦労しているようなので、
引き続き皆様のご回答お待ちしています。