三重積分の解き方

質問

問題は

Ｄ：x^2+y^2+z^2≦a^2（但しaは正の定数）
とするとき、
∫∫∫D　1/(x^2+y^2+(z-2a)^2)dxdydz
の値を求めよ。

です。

積分の仕方が少しわかりませんでした。
一生懸命考えてみたのですが、積分で詰まりました。
もしわかる人がいましたら教えてください。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

半径 a の球内についての積分ですから，極座標を使う一手でしょう．

x = r sinθ cosφ
y = r sinθ sinφ
z = r cosφ
として，積分範囲は
0≦r≦a
0≦θ≦π
0≦φ≦2π
体積要素が
dx dy dz ⇒ r^2 sinθ dr dθ dφ
ですから，被積分関数を r,θ,φ で表して，結局
(1)　　∫∫∫{r^2 sinθ dr dθ dφ / (r^2 - 4ar cosθ + 4a^2)}
を計算すればいいことになります．
φは(1)の被積分関数に含まれませんから因子 2π を与えるだけで
(2)　　2π∫∫r^2 sinθ dr dθ dφ / (r^2 - 4ar cosθ + 4a^2)}
を求めればＯＫです．
先にθの積分をやります．
いい具合に t = cosθ と置いたときの dt = - sinθ dθがちょうど分子にあります．
したがって，本質は ∫dy/(by-c) のタイプの積分で，
(2)　　(1/2)πr {log(2a+r) -log(2a-r)}
あとは(2)を r について 0 から a まで積分すればよく
(本質的には ∫y log (by+c) dy のタイプの積分)，
(3)　　2πa{1 - (3/4) log(3)}
が最終的結果です．

本質的に難しい積分はありませんが，
項をまとめたりするときに私が計算ミスをしている可能性もあります．
チェックもよろしく．

お礼

ありがとうございました。参考になりました。

回答No.3

siegmund

siegmund です．

あちゃ～，紙からタイプするときにやり損ないました．
oshiete_goo さんのご指摘の通りです．
oshiete_goo さん，どうもありがとうございました．

計算ミスの予防線は張っておいたんだけど，
タイプし損ないの方は予防線忘れた(^^;)．

回答No.2

oshiete_goo

#1のご回答で
＞(2)　　(1/2)πr {log(2a+r) -log(2a-r)}
について, 係数が
(π/a)r {log(2a+r) -log(2a-r)}
となるようです. 他の部分や最終結果は一致しました.
こちらの思い違いでないか確認いただければ幸いです.