連立方程式の範囲

質問

二つの連立方程式のa≦3,3≦a、a≦2,2≦a について
次の条件を満たすaの範囲を求めよという問題で
(1)ともに実数解を満たす
(2)少なくとも一方が実数解を持つ
(3)一方のみが実数解を持つ

実は何ヶ月前に解いた問題でこの条件はこうなると丸暗記で
解いたのですが、今では忘れてさっぱりです。
(1)なんてともに満たすのだからa≦3,2≦aでいいんじゃないかと思ってしまいます。

教科書もないのでどうしても分かりません。
解説お願いします。

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

概ね#2さんがおっしゃるとおりなんだけど、不等号の向きがちょっと・・・。

二次方程式 ax^2 + bx + c = 0 について、
２つの異なる実数解をもつ　⇔　b^2 - 4ac ＞ 0
１つの実数解（重解）をもつ　⇔ b^2 - 4ac = 0
実数解をもたない　⇔ b^2 - 4ac ＜ 0
はいいですね。いわゆる判別式というやつ。単に、「実数解を持つ条件は？」と言われれば、b^2 - 4ac ≧ 0 （２つの実数解をもつか、または重解をもつ）ですね。

(A) x^2+ax+a+1=0 が実数解を持つ　⇔ a^2 - 4(a+1) ≧ 0 ⇔ a ≦ 2-2√2, 2+2√2 ≦ a
(B) x^2+(a-1)x+a=0 が実数解を持つ　⇔　(a-1)^2-4a ≧ 0 ⇔ a ≦ 3-2√2, 3+2√2 ≦ a

も良いですね。

(1) ともに実数解を持つ
２つの２次方程式の判別式が両方とも 0 以上でなければならないので、上の(A) かつ (B) を満たす a を求める
（ a ≦ 2 - 2√2 または a ≧ 2 + 2√2) かつ（ a ≦ 3 - 2√2 または a ≧ 3 + 2√2)
⇒　a ≦ 2 - 2√2 または 3+2√2 ≦ a
分かりにくければ、数直線を書いて考える。数直線を書いて考えてもごちゃごちゃするようならば、色を使って数直線を書いてみる。例えば、（ a ≦ 2 - 2√2 または a ≧ 2 + 2√2 ）　の範囲を赤色で塗って、（ a ≦ 3 - 2√2 または a ≧ 3 + 2√2 ）を青色で塗って、赤と青の両方で塗られた範囲が（ a ≦ 2 - 2√2 または a ≧ 2 + 2√2) かつ（ a ≦ 3 - 2√2 または a ≧ 3 + 2√2) を満たす範囲。慣れるまでは色々と手を動かしてみよう。

(2)少なくとも一方が実数解を持つ
片方は実数解を持たなくても良いし、両方ともに実数解を持ってもよい。ということは、上の 「(A) または (B)」 を満たす a の範囲を求めればよい。
（ a≦2 - 2√2 または a≧2 + 2√2 ) または（ a≦3 - 2√2 または a≧3 + 2√2)
⇒　a ≦ 3 - 2√2 または a ≧ 2 + 2√2
(1) で作った色塗りの数直線で考えると、「赤の範囲または青の範囲」だから、「どちらかの色が塗られている範囲」ということ。両方の色が塗られている範囲が２つの２次方程式が両方とも実数解を持つ範囲で、片方の色だけが塗られている範囲が、片方の２次方程式だけが実数解を持つ範囲。

(3)一方のみが実数解を持つ
片方だけが実数解を持つならば、「(A)だけ」または「(B)だけ」
ということは、(1)で作った色塗りの数直線で、片方の色だけが塗られている範囲を求めれば良い。

(A) かつ 「(B)でない」（赤だけ塗られている範囲）
⇒（ a ≦ 2 - 2√2 または a ≧ 2 + 2√2) かつ（ 3 - 2√2 ＜ a ＜ 3 + 2√2)
⇒ 2+2√2 ≦ a ＜ 3+2√2

「(A)でない」 かつ (B)　（青だけ塗られている範囲）
⇒（ 2 - 2√2 ＜ a ＜ 2 + 2√2) かつ（ a≦3 - 2√2 または a≧3 + 2√2)
⇒ 2 - 2√2 ＜ a ≦ 3 - 2√2

となりますので、これらを合わせて
2 - 2√2 ＜ a ≦ 3 - 2√2　または 2+2√2 ≦ a ＜ 3+2√2