不思議な数学 気にしたら負け？

質問

0.999999999999...＝X　
両辺100倍
99.9999999999....=100x

　99.99999999...=100x
-) 0.99999999...=x
99 =99x
1 =x　・・・(゜Д゜)
なんだこれは？ｗ

回答No.11

kabaokaba

気にしたら負けかというと，
むしろ気がついた方が勝ちのような気がします．
受験とかにはあんまり関係ないでしょうけども，
そういうところに気がつくのはいいことだと思います．
＃このあたりの「嫌らしさ」が19世紀末から20世紀前半の
＃数学の発展の原動力の一個なのは間違いないですから．

まあ，一応つっこみ．
> ０．９９９９・・・・・＝１，と書かれている方もいらっしゃいますが，
> 数学的にはこれは間違いです．両者は厳密に違う数値を表しています．

「間違い」という指摘そのものが間違いです．
理由はNo.10さんの仰るとおり．

数学的には「二つの数aとbが等しい」というのは
どんな正の数εをとっても
|a-b|<ε
とできるということになります．
どんな正の数εをとってきても
「1-0.9999999.....」はε未満にできますから，同じ数です．

これは「数」というものと「その表記方法」が
ごっちゃになってるだけが原因です．
同じ実体であっても表記法は複数あるのです．
通常「1」と10進で表記される数は
0.99999999.........とも表記することができるということであり
1.1=1.0999999999.....だし，0.3=0.2229999999......でもあるのです．

こういうのがあるのも一つの原因だとは思いますが，
数学ではあんまり小数表示はしないですよね．
答えが1/3の問題で
わざわざ0.33333333.......とかは書かないですもんね．

ちなみに
>０≦ｘ≦１と言う閉集合と，０≦ｘ＜１と言う開集合では，
閉集合・開集合というのは数学の文脈では
定義が確立された厳密な数学用語であり
その意味で前者は閉集合ですが，後者は開集合ではありません．

主張されんことは分かっている人間からみればわかりますが，
そもそも0.999.....は0<=x<1には入りません．
＃たぶん，「1は0<=x<=1に含まれ，0<=x<1には含まれず，
＃0.99999...は0<=x<=1に含まれ，0<=x<1にも含まれている．
＃したがって，1と0.9999...は異なる」と
＃主張されているのだと解釈しています．
なぜなら，0.9999....がもし，1未満であるならば
0.999.....と1の間に数 a が存在する（例えば，0.999...と1の平均）．
つまり，0.9999.... < a < 1 となる．
ここでaを小数で表記したとする．その小数表示には
かならず9以外の数が現われる
（もし現われないならばそれはa=0.999...を意味するので）．
9以外の最初の数をXとおき
a=0.99..99X.....と書く．
このとき，明らかにa<0.99999999.....である．矛盾．

>ｌｉｍ（１－１／ｎ）でｎ→∞としたとき，これは＝１が答えになりますが，
>実際にはｎ→∞となって，答えは限りなく１に近付く，と言うことを表した数式に過ぎず，

これも「lim」の記号の意味が異なります．
微妙な話題であるにも関わらず主語などが不明確になっています．
lim_{n→∞}(1-(1/n)) というのは
1-(1/n)で，nをどんどんどんどん大きくしていった場合に
ある特定の値に近づくのであれば，その値を
lim_{n→∞}(1-(1/n)) と書くことにしよう，
ということであって，
lim_{n→∞}(1-(1/n)) = 1 は厳密に成立するものです．
しかし，
1-(1/n)の挙動そのものはn→∞としたときに
1にはならないが1にいくらでも近づくということになります．