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定積分の問題
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正攻法でやればいいと思いますが。 【ヒント】 f(x) = a*x^2 + b*x + c ( a ≠ 0 ) g(x) = d*x + e ( d ≠ 0 ) とおいて、どのような d, e に対しても ・∫ from 0 to 1, f(x)g(x) dx = 0 --- (1) ・∫ from -1 to 1, f(x) dx = 1 --- (2) となるように定数 a, b, c を求めればいいのです。 式(1) を計算して、その結果を d を含む項と e を含む項に分ければ A*d + B*c = 0 となります(A も B も a, b, c を含む式)。これがどんな d, e に対してもこれが成り立つには A = 0, B = 0 --- (3) でなければなりません。 一方、式(2) から a/3 + c = 1/2 --- (4) なので、式(3)と(4)を連立方程式とみなせば、a, b, c が求まります。
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- kumipapa
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> 任意のg(x)となれば分かるのですが、・・・ の意味は、任意の1次関数 g(x) で条件を満たすように f(x) を定めるのならば、例えば #1 さんが示されたような方法で解けるのですが、という事ですね。 確かにその通りで、「任意の1次関数 g(x) に対して条件を満たす」のでなければ、f(x) は一意には定まりません。g(x)としてどのような1次関数を持ってきても、その g(x) に対して与えられた条件を満たす f(x) は無数にあります。 やはり、任意の g(x) に対して条件を満たす f(x) を求めろということではないでしょうか。
お礼
任意のg(x)の部分の説明がとてもわかりやすく、もやもやしていたものがすっきりしました!ありがとうございました。
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お礼
ご丁寧にありがとうございます。やはりどんなd,eに対しても成り立つようにすることが必要なのですね。ありがとうございました。