ケプラーの第3法則

質問

ケプラーの第3法則の記述を見るとよく、ａ３乗/Ｔ２乗＝ｋ（ａ：半長径、Ｔ：公転周期、ｋ：比例定数）という記述を見るのですが、太陽の惑星についてこの式に当てはめた値は約1になるのに、なぜ敢えて"ｋ"や"一定"という記述をするのですか？なぜ約１になるという記述はないのですか？教えて下さい。

回答No.6

mmky · ベストアンサー

蛇足ですが。
質問者の疑問は、もっともだと思います。太陽系での観測データから導き出した式ですので、約1でもOKです。
だけども、法則という言葉を使いますと少し事情がかわるのです。
「法則」を辞書で調べますと「法則」とは、一定の条件のもとでは常に成り立つとものと考えられる、自然の事物相互の関係。
とあります。だからケプラーの第3法則という表現では、"ｋ"や"一定"という記述をするのです。
もし、ケプラーの第3測定結果とかと表現するのでしたら、
ａ３乗/Ｔ２乗≡1　で十分だと思います。
ということかなと思います。
以上

回答No.5

First_Noel

＃２です．計算違いしておりました．
と言うか，地球質量をＭにしておりました．つい癖で．．．ケアレスミス覆いなぁ．．．
すみませんでした．

回答No.4

zabuzaburo

地球を使って概算してみましょう。
地球と太陽の距離は約1億5000万キロ、すなわちa = 1.5×10^11[m]、
地球の公転周期は約365日、すなわち T = 3.2×10^7[秒]ですね。
このとき a^3 / T^2 = (1.5×10^11)^3 / (3.2×10^7)^2
= 3.3×10^18[m^3 / s^2] となり、これが太陽系のkになります。
おおざっぱに言って、
地球と太陽の距離を1天文単位、
地球の公転周期を1年と「名付けた」わけですから、
比例定数が1になるのは当然ということになります。

これは実測値から求めたものですが、
この値がどのようにして定まるのかを考えれば、より理解が深まると思います。
実際にケプラーの法則はもともと膨大なデータから見出されたものですが、
その後ニュートンが大成した古典力学によって
理論的に導き直すことができます。

ここでは非常に初等的に、
「質量mの質点である惑星が、質量Mの質点である恒星の周りを、
恒星からの万有引力を向心力として、半径r・速さvの等速円運動をしている」
と考えましょう。
万有引力は GMm / r^2 (Gは万有引力定数)、
この円運動の加速度は v^2 / r であることを用いて
惑星の運動方程式を立てると、
GMm / (r^2) = m・v^2 / r……(*)
が成り立ちます。
恒星と惑星の質量(Mとm)、および両者の距離(r)が与えられれば、
この運動方程式から速さvが求まり、さらに周期も求まります。
(*)をvについて解くと
v = √(GM / r)
となり、この時点で惑星の質量mが姿を消すため、
同じ恒星の周りを運動する全ての惑星に共通な性質が
得られることになるわけです。
一周の長さは2πrですから、周期Tは
T = 2πr / v = 2πr / √(GM / r)
計算しやすいようにT^2を考えると
T^2 = [2πr / √(GM / r)]^2 = (4・π^2 / GM)・r^3
となり、T^2はr^3に比例することが示されました。
そして、r^3 / T^2 = GM / (4・π^2) となり、
これがご質問の比例定数kの正体です(既に#2で書かれています)。
実際に万有引力定数G = 6.67×10^(-11)[N・m^2 / kg^2]
太陽の質量M = 1.99×10^30[kg]を用いて計算すると、
k = 3.32×10^18[m^3 / s^2]となり、初めの概算値と一致します。
ただしこの値はMとして太陽という特別な恒星の質量を用いたときの値であって、
#1の指摘のとおり、宇宙には太陽系のような天体系は他にも無数に存在します。

ずいぶんと長文になってしまいましたが、
すでになされた回答以上の情報はあまり書けませんでした(^^;)

回答No.3

Nandayer

１になるというのは、単位として a に天文単位，T に年を選んだ場合でしょう？
　例えば SI 単位系、つまり長さに m ，時間に秒（ s ）を選ぶと、
　　　k = 3.362 * 10^18 m^3/s^2
になります。

　また、物理定数，天文定数は、単位を付けないと意味を成さないことに注意してください。したがって、１になるというのは正しい表現ではなく、
　　　k = 1　天文単位^3／年^2
と記述するのが正確です。わかりきっている場合が多いので、省略しがちですが。

　1という数値そのものは、天文単位^3／年^2 という単位に依存するので、「敢えて"ｋ"や"一定"という記述をする」のだと思います。

回答No.2

First_Noel

a^3/T^2 = GM/4π^2

6.673e-11 × 5.97e24 / 4 / 3.1415926^2
=1.01×10^13

「約１」ではないからでは？

回答No.1

TK0318

宇宙には太陽系以外にもあるからではないでしょうか？
その場合法則は成り立っても１とは限らないからでは？