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定積分
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> ∫xexp(-x/N) dx=x^2/2 ・exp(-x/N) - 1/N∫exp(-x/N) dxですか 右辺第2項は - 1/n ~ ではなくて + 1/n ~ だと思いますが、それでうまくいかないなら、 ∫xexp(-x/n) dx= -n x exp(-x/n) + n∫exp(-x/n) dx としてみては?
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∫[0,∞]e^(-x^2)dx=√π/2 を示すために e^x>x+1(x≠0)(x=0での一次近似) より 両辺にx=x^2とx=-x^2を代入すると 1-x^2<e^(-x^2)<1/(1+x^2)……(1) (1)のそれぞれのグラフの形に留意しながら定積分の値を定めて それぞれをn乗してから定積分しても大小関係は変化しないので ∫[0,1](1-x^2)^ndx<∫[0,∞]e^(-nx^2)dx<∫[0,∞]1/(1+x^2)^ndx ここで x=cosθと置換すると ∫[0,1](1-x^2)^ndx=∫[0,π/2]sin^(2n+1)θdθ x=1/tanθと置換すると ∫[0,∞]1/(1+x^2)^ndx=[0,π/2]sin(2n-2)dθ また I_n=∫[0,π/2]sin^nθdθ は1≦nにおいて I_2n=π/2・1/2・3/4・5/6・7/8…(2n-1)/2n=πΠ[k=1,n](2k-1)/2k I_(2n+1)=1・2/3・4/5・6/7・8/9…2n/2n+1=Π[k=1,n]2k/(2k+1) となる。 更に √n・x=yとおくと ∫[0,∞]e^(-nx^2)dx=1/√n∫[0,∞]e^(-y^2)dy なので 求める定積分は √n・I_(2n+1)<∫[0,∞]e^(-x^2)dx<√n・I_(2n-2) ここまでは自力でたどり着いたのですが lim[n→∞]I_(2n+1)→√π/2 が示せなくなってしまいました。。。 これさえ示せれば証明できるのですが。。。 どなたかご教授お願いします。
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