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パップスの中線定理(スチュワートの定理)、二等分線の定理
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E7%B7%9A によると、 三角形 ABC の3辺 BC,CA,AB の長さをそれぞれ a,b,c とし、頂点AとBCの中点を結ぶ中線の長さを m とすると、スチュワートの定理より以下の式が成り立つ。 4m^2+a^2=2(b^2+c^2) ∴m=√(2b^2+2c^2-a^2)/2 となることは分かります。次に、 三角形 ABC の3辺 BC,CA,AB の長さをそれぞれ a,b,c とし、頂角Aの二等分線とBCの交点を結ぶ線分の長さを n とするとき、この n をa,b,cのきれいな式で表したいのですが、どのような式になるのでしょうか?
- qqqqqhf
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∠A=θ、∠Aの二等分線とBC の交点をNとすれば、 面積公式から bnsinθ+cnsinθ=bcsin2θ=2bcsinθcosθ sinθでわって、(b+c)n=2bccosθ・・・☆ 一方、BN:NC =c:bより、BN=ck、NC=bk とすれば、BN+NC=aからk=a/(b+c) よって、NC =ab/(b+c)となり、△ACNで余弦定理を 使い cosθ={b^2+n^2-a^2b^2/(b+c)^2}/2bn これを☆に代入して 整理 nについて解けば n={1/(b+c)}√{bc(a+b+c)(-a+b+c)}
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- zarbon
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No.2です。 補足ですが、スチュワートの定理と中線定理は別です。 スチュワートの定理で、BC上のDをBCの中点としたものが 中線定理です。
- zarbon
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「角の二等分線定理」というものがあります。 △ABCで∠Aの二等分線とBCの交点をDとすれば、 AB×AC = BD×DC + AD^2 が成り立ちます。 スチュワートの定理と、AB:AC = BD:DCから導かれるはずですので やってみてはいかがでしょうか?
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お礼
ありがとうございます。√の中が因数分解されて、きれいですね。