整数問題：直角三角形の２辺と内接円

質問

こんばんわ。整数問題で質問があります。
直角をはさむ２辺の長さがa,bの直角三角形がある。内接円の半径をｒとおくする。
（１）ｒをa,bであらわせ。
（２）a,bは整数とし、r＝５とする。このようなa,bの組をすべて答えよ。

というような問題なのですが、僕自身は、

この直角三角形の面積をＳとすると、Ｓ＝ab/2
また、Ｓ＝r(a＋b＋√{a^{2}+b^{2}})/2　ともあらわせるので、
　ab/2＝r(a＋b＋√{a^{2}+b^{2}})/2

ゆえに、r＝ab/（a＋b＋√{a^{2}+b^{2}}）
となったのですが、答えは、
r＝(a＋b－ √{a^{2}+b^{2}}）/2
となっています。模範解答自身の解説は理解できるのですが、僕の答えがどうして間違えっているのか理解できないのです・・。

僕の解答でそのまま（２）を解くと、
最終的に、（a－10）(b－10)＝－50　となりますが、もちろん
模範解答とは違います。

宜しくお願いします。

回答No.1

pontiac_gp · ベストアンサー

あなたの回答
r＝ab/（a＋b＋√{a^{2}+b^{2}}）
の分母を有利化すれば
r＝(a＋b－ √{a^{2}+b^{2}}）/2
になるようです。

お礼

早速のご解答ありがとうございます！

間違いが有理化とは気づきませんでした・・（笑）
まだまだ自分もかなり甘いようです。

無事解決しました。
本当に感謝しています。

回答No.3

take_5

うかつでした。

50＝（-50）*（-1）等が適さないことは一言書かなければならない。

お礼

お礼を申し上げるのが遅れてしまい、申し訳ございません。

大変参考になりました＾＾僕自身、計算ミスをしてしまいまして、答えのほうは合ってました。本当に感謝しております。

回答No.2

take_5

＞僕の答えがどうして間違えっているのか理解できないのです・・。

分母を有理化してないだけ。

＞最終的に、（a－10）(b－10)＝－50　となりますが、もちろん模範解答とは違います。

（a－10）(b－10)＝50　となるから、a≧bとしても一般性を失わない。
a－10≧b－10、and、50＝5*5*2*1より、（a－10、b－10）＝（50、1）、（25、2）、（10、5）より（a、b）＝（60、11）、（35、12）、（20、15）となるから、答えとしては、これにaとbを反対にした、（a、b）＝（11、60）、（12、35）、（15、20）を加えた6通りが答え。