二項定理の応用が解けなくて困っています

質問

以下に書く問題の答えを教えてください！

a^0=1, a^1=a, a^n=a(a-1)…(a-n+1), n>1とする。以下の等式を証明しなさい。

n n
　　　(a+b)^n=Σ( )a^k・b^(n-k)
k=1 k

どうか助けて下さい。お願いします。

回答No.2

oodaiko · ベストアンサー

stomachmanさんの証明はaの階乗を使っているのでa,bが自然数の場合にしか
使えませんが、 a^nの定義は a,bが任意の実数（または複素数）の場合でも
意味を持つので、証明はその場合でも通用するようにしなくてはいけません。
もちろんこの公式はa,bが一般の複素数の場合でも成立します。

なお記号^を使うとどうしても巾の様に見えてしまうので、この演算の記号として
ここでは^の代わりに@を使うことにします。また総和記号に上つき下つき文字を
書くのはここでは面倒なので 変数kについて1からnまでの総和をとることを \sum_{k=1}^{n}と書きます。

この手の問題を証明するのはやはり帰納法が一番オーソドックスです。
n=1の場合は両辺ともa+bになりますね。そして一般の場合は

(a+b-n) \sum_{k=0}^{n} (nCk)(a@k)(b@(n-k))
　　　　　　= \sum_{k=0}^{n+1} a@k b@(n+1-k) 　　　　　　…(*)

を証明できればよいですね。

まず次の公式を用意します。これらは定義から直接示せるので証明はしません。
また最後の公式は二項定理に関連してどんな本にも載っているはずです。
(a-k)×a@k = a@(k+1)
(b-n+k)×b@(n-k) = b@(n-k+1)
b@(n-k) = b@((n+1)-(k+1))
nCk + nC(k+1) = (n+1)C(k+1)

さて(*)を証明します。

(a+b-n) \sum_{k=0}^{n} (nCk)(a@k)(b@(n-k))　　　　　　　　　　…(1)

= \sum_{k=0}^{n} (nCk)(a+b-n) (a@k)(b@(n-k))　　　　　　　　　…(2)

= \sum_{k=0}^{n} (nCk){(a-k)+(b-n+k)} (a@k)(b@(n-k))　　　　　…(3)

= \sum_{k=0}^{n} (nCk){(a@(k+1))(b@(n-k)) + (a@k)(b@(n-k+1))}　　　　　…(4)

= (nC0)(a@0)b@(n+1)
　　　+ \sum_{k=0}^{n-1} (a@(k+1))(b@(n-k)){nCk + nC(k+1)}
　　　　　　　　　　　　　 + (nCn)(a@(n+1))(b@0)　　　　　　　…(5)

= ((n+1)C0)(a@0)b@(n+1)
　　　+ \sum_{k=0}^{n-1} (a@(k+1))(b@((n+1)-(k+1))) (n+1)C(k+1)
　　　　　　　　　　　　　 + ((n+1)C(n+1))(a@(n+1))(b@0)　　　　　　　…(6)

= \sum_{k=0}^{n+1} a@k b@(n+1-k)　　　　　　　　　　　　　　　…(7)

以上ですがかなり急いで書いたので計算間違いなどあるかも知れません。
もともとこの掲示版は数式をきれいに書けるようなものではないので
人の回答を鵜呑みにせず、必ず自分のノートにきちんとした記号で
書き写して計算をチェックして下さい。

お礼

解答をありがとうございました。
二つの解答を参考にして自分なりの解答を作っていきたいと思います。
本当にありがとうございました。