確率変数独立性

質問

確率変数 {X_i}n=1,‥‥
は{s_i}(iは1からmの自然数、s_iは実数値)の値をとる。
そして各iに対してp(s_i)の値を定める。(p(s_i)の和は1で、0以上1以下)
このとき、確率変数 {X_i}n=1,‥‥が独立であることが知りたいです。

すいません宜しくお願いします。

回答No.3

---------- · ベストアンサー

再びNo1です。

「公平なコインを投げる」とかいた時点で、
ｎ回目のコインが裏か表かについては、
独立であることを仮定しています。
なので、
P(∩{X_a=s_a})も(1/2)^nとなります。
１回目が表のときに、２回目の表裏の確率が変わる、
なんてことが起こっていたら、公平とはいえませんからね。

なので、補足に書かれてある質問は、
明らかに独立だと言えます。
（「公平」というところに独立性を仮定しているから）
でも、あえて独立であることを式で書くなら、
No2で書いたことを示すのですが、
結局左辺の計算で独立性を使うので、
あまり議論をする意味がありません。

では、公平なコインの裏表に関する確率変数は
常に独立になるかといえば、そういうわけではありません。
たとえば、
１回目表⇒x1=1、１回目裏⇒x1=0、
１回目表２回目表または１回目表２回目裏⇒x2=1、
１回目裏２回目表または１回目裏２回目裏⇒x2=0、
という確率変数x1、x2を考えると、
P(x1=1,x2=1)=P(x1=1)=1/2、
P(x1=1)P(x2=1)=1/2×1/2
となり、独立ではありません。
この例は、x1もx2も１回目の裏表だけに依存して確率が決まるので
定義からも独立でないことはわかりますが、
このように、確率変数をどう作るかによって
（もともとの事象には関係なく）独立性は変化します。

ちなみに、本質的なことではありませんが、
「P(∩{X_a=s_a})」と
「任意のaに対してP(X_1=s_1,X_2=s_2,…,X_a=s_a)　」
は違います。
たとえば、aが偶数の集合の中を走るとしたら、２つ目は、
「P(X_2=s_2,X_4=s_4,…)　」
となるからです。細かいですけど。。。

お礼

わざわざ返信ありがとうございます。
具体的な例を紹介してもらったおかげで、確率変数のとり方によって、独立性が変化することの理解が深まりました。
まだ、確率変数、分布に対する定義の理解が不十分なので、根本から見直していこうと思います。

回答No.2

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No1です。
補足を見たので追記します。

捕捉に書かれているものであれば、
次をチェックすればＯＫです。

P(∩{X_a=s_a})=ΠP({X_a=s_a})
ここで、∩とΠはaについてはしるとし、
aはA（自然数全体の集合の、任意の部分集合）の中をはしり、
s_aは0か1をあらわすとします。

ただ、この式は、
両辺とも、(1/2)^n（nはAの要素数）なので成り立つから、
独立であることがいえます。

独立の定義を見て、それをチェックするだけです。
ウィキペディアの参考ページも見てください。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A2%BA%E7%8E%87%E8%AB%96%E7%9A%84%E7%8B%AC%E7%AB%8B%E6%80%A7

補足

返信ありがとうございます。
右辺は(1/2)^{n}は明らかなもですが。
左辺をどのように考えるのでしょうか？

P(∩{X_a=s_a})
書き換えると
任意のaに対して
P(X_1=s_1,X_2=s_2,…,X_a=s_a)　(s_aは0または1)となると思うんですが　
この値とはどう考えればいいでしょうか？

回答No.1

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結論からいうと、これだけではわかりません。

独立というのは、簡単にいうと、
変数の分布が他の変数の影響を受けないということです。

たとえば、
コインを投げて表が上だったら１、裏が上だったら２となる
ＸとＹという確率変数があって、
Ｐ（Ｘ＝１）＝Ｐ（Ｘ＝２）＝１／２
Ｐ（Ｙ＝１）＝Ｐ（Ｙ＝２）＝１／２
としましょう。
このとき普通であれば、ＸとＹは独立ですが、
もしコインの表同士が糊で貼りつけられていたら、
Ｐ（Ｘ＝１、Ｙ＝２）＝Ｐ（Ｘ＝２、Ｙ＝１）＝１／２となり、
Ｐ（Ｘ＝１）×Ｐ（Ｙ＝２）＝１／４と等しくならず、
独立とはいえなくなります。
（コインがくっついていることからも
　独立でないことは直感的にわかりますが）

つまり、それぞれの確率変数の分布を与えるだけでは
その確率変数の独立性は得られず、
複数の確率変数の分布が与えられないと、
独立性のチェックができないということです。

補足

返信ありがとうございます。
すいません、少し教えてほしいのですが。
公平なコインを無限回投げる試行を考えます。
表が出れば１裏が出れば0　P_0=1/2 P_1=1/2
標本空間Ω={0,1}^{N}　（2点0,1の片側無限列）
Ωの任意の要素ωに対して、ωの第n座標をX_n(ω)とします。
このとき確率変数列{X_n(ω)}n=1,2,…は独立であるか確かめたいのですが。どうすれば、よろしいでしょうか？