熱交換計算について

質問

熱交換の計算についてですが、以下の場合どのように計算したらよいでしょうか？
200Lの容器の中に銅管（内径13mm、外径15ｍｍ）
を入れ、容器内（液温55℃）の水を冷やそうと思います。
銅管を通る冷却水は25℃で30L/minの流量だとします。
この条件下で、銅管の長さを20ｍの場合どれだけの熱交換が可能かが知りたいのです！

回答No.2

noname#57316

冷却水配管の入り口から、x-Δx から x の微小長さの部分における
時刻 t における熱流束、冷却水の温度変化を考えます。

冷却水温度を Θ(x,t)、容器内の水の温度を T(t) とし、冷却水の温度が、
冷却水の流れる方向に測った配管の長さ x と、時刻 t によって表わされる
とします。
一方、容器内の水の温度は、攪拌されているものとし、配管の長手方向の
距離 x にはよらず、時刻 t のみで表わされるとします。

配管の外径を R、内径を r とすれば、t における熱流速は
h・(2πR・Δx)・{T(t)-Θ(x,t)}
です。
Θ(x,t) が、Θ(x,t)=Θ_x(x)・Θ_t(t) と表わせるとすると
h・(2πR・Δx)・{T(t)-Θ_x(x)・Θ_t(t)}
となります。
ここで、h は、配管の内外にできる境膜の熱伝達係数、h_in、及び
h_out、そして、配管の熱伝導度 λ から定まる総括熱伝達係数で、
1/h=(1/h_out)+(1/λ)+(1/h_in) として求められる係数です。

冷却配管の全長（これを L とします）に亘り x で積分すると、
h・(2πR)・[{L・T(t)-Θ_t(t)}・∫[x=0→L]Θ_x(x)dx]
となり、単位時間に冷却配管全長に亘り、入熱される熱量を表わす量と
なります。これは、容器内の水が単位時間に配管に渡した全熱量、
-c・ρ・V・{dT(t)/dt}
に等しいことが分かります。

次に、水の熱容量を c、密度をρ、冷却水の配管内の流速を u とし、
考えている配管の微小部分への単位時間当たりの熱の流入、流出量を
求めると、
流入量、c・ρ・(πr^2・u)・Θ(x-Δx,t)
流出量、c・ρ・(πr^2・u)・Θ(x,t)
で、熱の移動量は、これの差を取り、
c・ρ・(πr^2・u)・Θ(x,t)-c・ρ・(πr^2・u)・Θ(x-Δx,t)
=c・ρ・(πr^2・u)・{Θ(x,t)-Θ(x-Δx,t)}
=c・ρ・(πr^2・u)・{∂Θ(x,t)/∂x}Δx
=c・ρ・(πr^2・u)・Θ_t(t)・{dΘ_x(x)/dx}Δx
この熱量を、冷却配管全長に亘り積分したものは、配管の長手方向に
熱が伝わった全量を示すものとなり、これも、容器内の水が単位時間に
配管に渡した全熱量、
-c・ρ・V・{dT(t)/dt}
に等しいことが分かります。

従って、
h・(2πR)・[{L・T(t)-Θ_t(t)}・∫[x=0→L]Θ_x(x)dx]
=c・ρ・(πr^2・u)・Θ_t(t)・∫[x=0→L]{dΘ_x(x)/dx}dx
右辺は、
c・ρ・(πr^2・u)・Θ_t(t)・{Θ_x(L)-Θ_x(0)}
と簡単化でき、結局、
h・(2πR)・[{L・T(t)-Θ_t(t)}・∫[x=0→L]Θ_x(x)dx]
=c・ρ・(πr^2・u)・Θ_t(t)・{Θ_x(L)-Θ_x(0)} （1）

ここでは、
h・(2πR)・[{L・T(t)-Θ_t(t)}・∫[x=0→L]Θ_x(x)dx]
=-c・ρ・V・{dT(t)/dt}
=c・ρ・(πr^2・u)・Θ_t(t)・{∂Θ_x(x)/∂x}Δx
として、容器の水の熱量の減少を仲立ちして、（1）式を得ましたが、
この関係は、このような方法によらずとも得られる関係なので、
積分せず、以下のような微分方程式を得て、冷却水温度の、
長手方向分布を得ることができます。

それは、
h・(2πR・Δx)・{T(t)-Θ_x(x)・Θ_t(t)}
=c・ρ・(πr^2・u)・Θ_t(t)・{dΘ_x(x)/dx}Δx
で、簡単化すると、{h・(2R)/(c・ρ・u・r^2)}=α として、
α・[-{T(t)/Θ_t(t)}+Θ_x(x)]+{dΘ_x(x)/dx}=0

{dΘ_x(x)/dx}+α・Θ_x(x)=α・{T(t)/Θ_t(t)}
左辺は x のみの函数、右辺は t のみの函数であるから、
βを定数として、
{dΘ_x(x)/dx}+α・Θ_x(x)=β （2）
α・{T(t)/Θ_t(t)}=β （3）
でなければなりません。

(2)より、Θ_x(x)=Θ_x(0)・e^(-αx)+(β/α){1-e^(-αx)}
Θ_x(0) は、熱の遣り取りがない時の配管入り口温度と、容器内の
水の温度の差と見なして良いでしょう。つまり、0 です。

従って、Θ_x(x)=(β/α){1-e^(-αx)} （4）

一方、（3）式からは、Θ_t(t)=(α/β)・T(t) が得られます。
Θ_t(t) は、関係、（4）を拡大するファクターと考えられるでしょう。
時刻 t_1 における分布が、時刻 t_2 においては（t_1<t_2）、
Θ_t(t_2)/Θ_t(t_1) 倍に拡がることを意味しています。
これは一見、奇妙に思えるかもしれません。
というのは、容器の水は熱を放出するのであるから、温度が下がり、
配管内の温度は上昇するので、その比であるβは下がるように
思えるからです。しかし、今のようなモデルを考えている限り、
Θ_t(t) が大きい時は、T(t) も大きく、Θ_t(t) が小さい時は、
T(t) も小さくなり、その割合が一定であるということに帰結
するのです。
提示された数値を用いた計算をしませんでしたが、モデルの確認後、
数値を入れて計算なさって下さい。